Torseur dynamique

Le torseur dynamique est un outil mathématique utilisé lors de l'application du principe fondamental de la dynamique.

Définition

Le torseur dynamique comme tous les torseurs est la réduction d'un champ vectoriel en un point en deux vecteurs particuliers.

Sa notation est la suivante : ${ \mathcal{D} (S/R)} _{A} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{A}}(S/R) \\ \overrightarrow{\delta _A}(S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

avec R repère d'etude, S solide étudié, A point quelconque du solide S.

Quantité d'accélération

Le vecteur $\overrightarrow{\mathcal{A}}(S/R)$ représente la quantité d'accélération du solide. La quantité d'accélération s'exprime en kg.m.s ^{− 2}

On a $\overrightarrow{\mathcal{A}}(S/R) = m \vec \Gamma (G/R) = \int_{(S)} {\vec \Gamma (P,S/R) dm}$.

Avec G centre d'inertie de S.

Moment dynamique

Le vecteur $\overrightarrow{\delta _A}(S/R)$ est le moment dynamique.

On a $\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \int_{(S)} {\vec {AP} \wedge \vec \Gamma (P,S/R) dm}$.

Il peut aussi s'exprimer en fonction du moment cinétique par la formule $\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \frac d {dt} \left[ \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) \right] + m \cdot \overrightarrow{V_{A/R}} \wedge \overrightarrow{V_G}(S/R)$

Cas particuliers

• Dans le cas d'un solide uniquement en translation, on a ${ \mathcal{D} (S/R)} _{G} = \begin{Bmatrix} m \overrightarrow{a _{G/R }} \\ \overrightarrow{0} \end{Bmatrix}_{G/R}$

• Dans le cas d'un solide uniquement en rotation autour de son axe de symetrie et avec son centre de gravité sur l'axe de rotation noté $\vec z$, on a ${ \mathcal{D} (S/R)} _{G} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{0} \\ I \ddot \theta \vec z \end{Bmatrix}_{G/R}$

avec I moment d'inertie de S exprimé en kg.m² et $\ddot \theta$ accélération angulaire en rad.s ^{− 2}.

• Dans le cas où le point A est le centre d'inertie du solide, ou un point fixe, le torseur dynamique dérive directement du torseur cinétique, à savoir :${ \mathcal{D} (S/R)} _{A} = \frac d {dt} \left[ {\mathcal{C} (S/R)}_A \right]$