Torseur


Torseur

Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent de la part d'un environnement extérieur.

Sommaire

Définition

Un torseur est un champ de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs \overrightarrow{\mathcal{M}_P} en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon : \overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{PO} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}. Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination "formule de BABAR" : \overrightarrow{\mathcal{M}_B}=\overrightarrow{\mathcal{M}_A}+\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}, où le vecteur \overrightarrow{\mathcal{R}} (associé de façon unique à tout champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction" en un point quelconque P de l'espace, à savoir :

  • La résultante \overrightarrow{\mathcal{R}}. Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction.
  • Le moment en P du torseur, \overrightarrow{\mathcal{M}_P}.

La résultante est un vecteur caractéristique du champ qui permet, à partir du moment en un point particulier, de retrouver les autres moments. De ce fait, les torseurs forment parmi les champs de vecteurs un sous-espace de dimension 6 (dans le cas de l'espace physique de dimension 3).

On écrit alors :


\mathcal{T} = 

\begin{Bmatrix}
\overrightarrow{\mathcal{R}} \\
\overrightarrow{\mathcal{M}_O}
\end{Bmatrix}_O

ou, en projetant la résultante et le moment sur une base orthonormée \mathcal{B} :

\mathcal{T}= 

\begin{Bmatrix}
X && L \\
Y && M \\
Z && N
\end{Bmatrix}_{O, \mathcal{B}}

où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment. Ces coordonnées sont appelées « coordonnées plückeriennes », du mathématicien allemand Julius Plücker.

Exemples

  • Le champ des moments d'une force (ou de la somme de plusieurs forces) par rapport à un point est un torseur, dit torseur des actions mécaniques. La résultante du torseur est la somme des forces.
  • Le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant donné est un torseur, appelé torseur cinématique du solide. La résultante est le vecteur instantané de rotation.
  • Soit A un point affecté d'une masse m et d'une vitesse \vec V par rapport à un référentiel donné. Si l'on choisit un point P quelconque, on peut définir le torseur cinétique de A en P par :

\overrightarrow{L(P)} = \overrightarrow {PA} \wedge m \overrightarrow{V}. Ce torseur s'appelle le torseur cinétique de A. Sa résultante est la quantité de mouvement m \overrightarrow{V} de A.

  • On définit de même le torseur dynamique de A par le champ \overrightarrow{PA} \wedge m\overrightarrow{a}\overrightarrow{a} est l'accélération de A. Si une force s'applique sur le point A, le principe fondamental de la dynamique énonce qu'il y a identité entre le torseur des forces et le torseur dynamique dans un référentiel galiléen (mécanique des solides).
  • Le champ de moments nuls s'appelle le torseur nul. Il correspond à un champ de forces dans le cas statique.
  • Un couple est un champ vectoriel uniforme, donc représenté par un torseur dont la résultante est nulle. Physiquement, il correspond à un torseur de forces dont la résultante est nulle.
  • Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point. Le torseur d'une force appliquée en un point est un glisseur, le moment étant nul sur la droite servant de support à la force. Le champ des vitesses d'un solide en rotation est un glisseur. La vitesse est nulle sur l'axe de rotation. Pour un glisseur, on peut utiliser la notation \mathcal {T}_{\vec R / O}\vec R désigne la résultante et O le point d'application où le moment est nul.

Le torseur des forces de pression est égal et opposé au torseur des forces de gravité dans le fluide considéré.

Propriétés des torseurs

Équiprojectivité

Soit un torseur de résultante \overrightarrow R et de moment \overrightarrow{\mathcal M_O} en O. Son moment en P est \overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OP}, de sorte que, en faisant le produit scalaire par \overrightarrow{OP}, on obtient :

(\overrightarrow{\mathcal M_P} | \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{\mathcal M_O}| \overrightarrow{OP})

Cette relation s'appelle propriété d'équiprojectivité du champ. On montre que cette propriété est caractéristique des champs de torseurs. Autrement dit, si un champ de vecteurs est équiprojectif, alors il s'agit du champ des moments d'un torseur. C'est d'ailleurs la façon la plus fondamentale de définir un torseur.

L'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide indéformable est la propriété fondamentale décrivant le comportement cinématique de ces corps.

Cette relation est appelée aussi loi de transfert des moments puisqu'on obtient le moment du torseur au point P en utilisant celui en O tant que O et P appartiennent au même solide indéformable.

Axe d'un torseur

Considérons un torseur de résultante \overrightarrow R non nulle. Alors on montre que les points P tels que \overrightarrow{\mathcal M_P} soit colinéaire à \overrightarrow R forment une droite appelée axe central d'un torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple et du torseur nul, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls.

Pour le torseur cinématique d'un solide (dont les moments sont les vitesses des points du solide), la résultante est le vecteur instantané de rotation. Le mouvement du solide est en général la superposition d'un mouvement de rotation et d'un mouvement de translation parallèlement à l'axe de rotation instantané (vissage). Les points du solide en translation sont précisément les points de l'axe central du torseur cinématique.

Torseurs couramment utilisés en mécanique

Torseur statique

Article détaillé : Torseur statique.

Torseur cinématique

Article détaillé : Torseur cinématique.

Torseur cinétique

Article détaillé : Torseur cinétique.

La résultante du torseur cinétique est constitué de l'impulsion, du système. Son moment est le moment cinétique.

Torseur dynamique

Article détaillé : Torseur dynamique.

Principe fondamental de la dynamique

En mécanique du solide, le principe fondamental de la dynamique (PFD) est généralisé pour décrire le mouvement de tous les points d'un solide (ou d'un ensemble de solides), à travers le concept des couples qui peuvent agir sur un solide mais n'ont pas de contrepartie en mécanique du point. Le PFD s'énonce ainsi :

il existe un repère galiléen, tel qu’à tout instant, le torseur dynamique du solide dans son mouvement par rapport à ce repère est égal au torseur des forces extérieures agissant sur le solide.

Dans le cas particulier du point matériel (en assimilant le solide à sa masse rapportée en son centre d'inertie), le PFD se réduit à l'égalité des résultantes de ces torseurs, soit le principe fondamental de la dynamique de translation.

Exemple d'utilisation

Soit une barre en équilibre, en appui sur l'un de ses points, de poids négligeable, et sollicitée par deux forces \vec {F_1} (en un point A1 de la barre) et  \vec {F_2} (en un point A2). Soit O son point d'appui et soit R la force de réaction au point O.

D'après les lois de Newton, il faut pour que la barre soit en équilibre que la somme des forces et la somme des moments soient nulles. Donc,

\mathcal {T}_{\vec F_1} + \mathcal {T}_{\vec F_2} + \mathcal {T}_{\vec R} = \mathcal {T}_{\vec 0}

(torseur nul), ce qui équivaut à :

\vec F_1 + \vec F_2 + \vec R = \vec 0

et à (puisque  \overrightarrow{\mathcal M}_{\vec R / O} =  \vec 0 )

\overrightarrow{\mathcal M}_{\vec F_1 / O} + \overrightarrow{\mathcal M}_{\vec F_2 / O}  = \vec 0.

De façon équivalente, au point A1,

\overrightarrow{\mathcal M}_{\vec F_1 / A1} + \overrightarrow{\mathcal M}_{\vec F_2 / A1} + \overrightarrow{\mathcal M}_{\vec R / A1} = \vec 0.

Autre acception

Soit G un groupe. Un G-torseur (traduction littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel G agit de façon transitive (une seule orbite) et sans fixer aucun point. Cela équivaut à "oublier lequel des éléments de G est l'unité". Un G-torseur et le groupe G associé sont donc le même ensemble, mais muni de structures différentes.

L'espace affine en est un exemple pour le groupe des translations spatiales: additionner deux points n'a aucun sens, leur différence par contre est un élément du groupe additif des translations, c'est-à-dire un vecteur. De même, les notes de la gamme dodécaphonique (avec identification des octaves) forment un G-torseur pour le groupe additif Z_12 des entiers mod. 12, les jours de la semaine pour le groupe Z_7, etc. La droite réelle et le groupe additif des réels sont un autre exemple: l'énergie d'un système physique n'est définie que modulo une constante arbitraire, mais les variations d'énergie sont des éléments du groupe R.

La fibre d'un fibré principal est un G-torseur.

Puissance générale

De manière générale, tout solide en mouvement et subissant des efforts extérieurs peut être modélisé par 2 torseurs:

  • Le torseur des efforts extérieurs ou torseur statique (S: le solide, E: l'extérieur) :
{\mathcal{T} _A (E \to S) }_{/R} = 

\begin{Bmatrix}
\overrightarrow{\mathcal{R}}(E \to S) \\
\overrightarrow{\mathcal{M}_A}(E \to S)
\end{Bmatrix}_{A/R}


Puissance extérieure ( \mathcal{P}_{ext} )

Soit un ensemble de solides (notés  \mathcal{S}_i avec i un indice) qui constitue ce que l'on appelle un système (noté S). La puissance extérieure est la puissance de tous les efforts extérieures qui s'appliquent sur le système. On se place par rapport au référentiel R qui est le référentiel de base c'est-à-dire le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen.

Pour calculer la puissance extérieure instantanée du système en mouvement subissant des efforts extérieurs, on calcule le comoment (  \otimes ) des 2 torseurs :  \mathcal{P}_{ext} = \begin{Bmatrix}
\ \vec \Omega (S/R) \\
\ \vec V (A \in S/R)
\end{Bmatrix}_{A/R} \otimes  \begin{Bmatrix}
\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \\
\overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S)
\end{Bmatrix}_{A/R}

Ce qui donne en fait la formule suivante :

  •  \mathcal{P}_{ext} = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)


Puissance intérieure ( \mathcal{P}_{int} )
Les puissances intérieures ( \mathcal{P}_{int} ) d'un système sont les puissances entre les divers solides. Il faut utiliser la même méthode de calcul c'est-à-dire effectuer un comoment des 2 torseurs. Seulement il faut faire très attention aux torseurs à utiliser. En effet, ce comoment s'effectue entre le torseur des efforts d'un solide sur un autre et le torseur distributeur des vitesses du solide en question par rapport à l'autre solide!! .

Ce qui donne :  \mathcal{P}_{int} = \begin{Bmatrix}
\ \vec \Omega (Si/Sj) \\
\ \vec V (A \in Si/Sj)
\end{Bmatrix}_{A/Sj} \otimes  \begin{Bmatrix}
\overrightarrow{\mathcal{R}}(Sj \to Si) \\
\overrightarrow{\mathcal{M}_A}(Sj \to Si)
\end{Bmatrix}_{A/Si}


Remarques :

  • C'est la formule générale. Si on considère un solide en translation ou si on considère un solide en rotation subissant un couple, on retombe sur les formules déjà précédemment énoncées.
  • La puissance instantanée calculée de cette manière ne dépend pas du point A du solide mais le comoment doit être calculé avec les 2 torseurs exprimés au même point
  • L'expression de ces 2 types de puissances nous amène au théorème de l'Énergie cinétique :


 \frac{dE_c}{dt}\ = \mathcal{P}_{ext} + \sum \mathcal{P}_{int}


Démontrons que la puissance ne dépend pas du point du solide :

Formules de changement de point (la vitesse et le moment sont des vecteurs qui s'expriment en un point) :

  •  \vec V (A \in S/R) = \vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}
  •  \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S) = \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}


La puissance exprimée au point A est :
 P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)
On utilise la formule de changement de point :  P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)
Puis on développe :  P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) +  (\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)
Or on sait que :  \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) = \vec \Omega (S/R).(\vec {BA} \land \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S)) (permutation circulaire).
Donc le terme :  \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R) est en fait nul.
Finalement on tombe donc sur :  P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R)
Autrement dit, pour tout point A et B du solide, on a l'égalité vectorielle suivante :  \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) = 
\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)

Conclusion : on a donc bien démontré que la puissance ne dépend pas du point choisi.

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