Tonneau (formules)


Tonneau (formules)

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées, mais aucune ne donne exactement le volume. Après un rappel historique des différents auteurs, d'autres formules seront expliquées et proposées. Des formules complémentaires, en fonction de la hauteur de liquide, ou encore relatives aux surfaces, seront également présentées.

Sommaire

Quelques formules historiques

Tonneau couché
  • Kepler a donné une formule approchée

V = \frac {\pi L} {12} (D^2+Dd+d^2)

V = \frac {\pi L}{12} (2D^2+d^2)

  • Une instruction du ministère de l'Intérieur en pluviôse de l'an VII fixa la formule suivante[1] :

V = \frac {\pi L}{4} \left( d + \frac 23 (D-d) \right)^2

Ou encore : V = \frac {\pi L}{36} (2D+d)^2

  • Dez[2] a établi la formule :

V = \frac {\pi L}{4}\left( d + \frac 58 (D-d) \right)^2

Ou encore : V = \frac {\pi L}{256} (5D+3d)^2

  • Les Douanes emploient la formule :

V = 0,625C3

Dans laquelle C représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est très rapide, car elle n'exige qu'une seule mesure. On peut même avoir immédiatement le volume en marquant sur une règle les volumes calculés d'après les C correspondants.

Calcul

La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Cette courbe génératrice passe par trois points.

V = \int S\, \mathrm dx

S est la surface du disque de rayon y

V = 2\pi\int_0^{\frac{L}{2}} y^2\, \mathrm dx

Exemples :

  • Parabole

C'est une courbe passant par trois points très commode en mathématiques.

Et la parabole s'exprime par : y = ax2 + b

Avec  a=\frac{2(d-D)}{L^2} et b=\frac D2

Le polynôme s'intègre facilement, et on obtient : V=\frac {\pi L} {60} (8D^2+3d^2+4Dd)

  • Ellipse

Elle a pour équation :

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

a=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac {d}{D})^2}} et b=\frac {D}2

D'où la formule

V=2\pi b^2\int_0^\frac{L}{2}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\mathrm dx s'intègre facilement elle aussi, et on obtient :

V=\frac{\pi L}{12}(2D^2+d^2)

On retrouve la formule d'Oughtred.

  • Cercle

C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas, mais elle est difficile à manipuler. L'équation s'exprime par :

x2 + (yb)2 = R2 (cercle de centre H, de rayon R et passant par A et B)

avec b=\frac{D^2-d^2-L^2}{4(D-d)} et R=\frac{(D-d)^2+L^2}{4(D-d)}

V=2\pi \int_0^\frac{L}{2}(b+\sqrt{R^2-x^2})^2\mathrm dx

V=\pi\left(L\left(b^2+R^2-\frac{L^2}{12}\right)+2bR^2\left(\arcsin\frac{L}{2R}+\frac{L}{2R}\sqrt{1-\left(\frac{L}{2R}\right)^2}\right)\right)

  • Droite

Plus simplement on peut prendre deux droites génératrices. On obtient deux troncs de cône.

V = \frac {\pi L} {12} (D^2+Dd+d^2)

C'est la formule de Kepler.

  • Résistance des matériaux

Une poutre sur deux appuis simples ou une poutre encastrée se déforme en flexion selon une courbe :

y=\frac {D-d}{2}\Bigl(4\left(\frac{x}{L}\right)^3-3\frac{x}{L}\Bigr)-\frac{d}{2}

V=\frac{\pi L}{560}(68D^2+33d^2+36dD)


  • Autres formules

Cosinus

y = acos bx avec a=\frac{D}{2} et b=\frac{2}{L}\arccos \frac{d}{D}

V=2\pi\int_0^\frac{L}{2} \frac{D^2}{4} \cos^2 bx\mathrm dx

 V=\frac{\pi D^2 L}{8}(1+\frac{\frac {d}{D}\sqrt{1-(\frac{d}{D})^2}}{\arccos \frac{d}{D}})

Cosinus hyperbolique

y = acosh bx avec a=\frac{d}{2} et b=\frac{2}{L} \operatorname{argcosh} \frac{D}{d}

V=2\pi\int_0^\frac{L}{2} \left(\frac{D+d}{2}-a\cosh^2 bx\right)\mathrm dx

 V=\pi L\left (\left(\frac{D+d}{2}\right)^2+\frac{d^2}{8}-\frac{d}{8}(3D+4d)\frac{\sqrt{(\frac{D}{d})^2-1}}{\operatorname{argcosh}\frac{D}{d}}\right)

Hyperbole

\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1

a=\frac{L}{2\sqrt{(\frac{D}{d})^2-1}} et b=\frac{d}{2}

 \begin{align}V&=\pi L\Bigg[\left(\frac{D+d}{2}\right)^2+\frac{d^2}{6}+\frac{D^2}{12} \\ \ & -\frac{d(D+d)}{4\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}}\left(\frac{D}{d}\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}+\operatorname{argsinh} \sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}\right)\Bigg]\end{align}

Tonneau à section elliptique

Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.

Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :

Dans le plan x0y :

y=\frac{2(a-A)}{L^2}x^2+\frac A2

Dans le plan x0z :

z=\frac{2(b-B)}{L^2}x^2+\frac B2

V=2\int_0^\frac L2 \pi yz\mathrm dx

V=\frac{\pi L}{60}(3ab+2aB+2Ab+8AB)


Si on a des ellipses comme génératrices

Dans le plan xOy on a l'ellipse \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1

\alpha=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac aA)^2}} et \beta=\frac A2

Dans le plan xOz on a l'ellipse \frac{x^2}{\gamma^2}+\frac{z^2}{\delta^2}=1

\gamma=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac bB)^2}} et \delta=\frac B2

V=2\int_0^\frac L2 \pi yz\mathrm dx

V=\frac{\pi}{2L^2} \int_0^\frac{L}{2}\sqrt{(L^2A^2-4(A^2-a^2)x^2)(L^2B^2-4(B^2-b^2)x^2)}\mathrm dx

Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide

La génératrice est la parabole d'équation : y=\frac{2(d-D)}{L^2}x^2+\frac{D}{2}

  • Pour un tonneau couché

Soit h la hauteur de liquide

Soit x1 et x2 les bornes maximales selon les valeurs de h

x_1=\sqrt{\frac{h L^2}{2(D-d)}} et x_2=\sqrt{\frac{(D-d)L^2}{2(D-d)}}

V=\int S \mathrm dx

S représente le segment circulaire, de rayon y, de flèche y - \frac D2 + h.

S=y^2\left(\arccos \frac{D-2h}{2y} -\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1-\left(\frac{D-2h}{2y}\right)^2}\right)

Si h\le\frac{D-d}{2}, alors

V=\int_0^{x_1} 2S \mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

V=\int_0^\frac L2 2S \mathrm dx

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

V=\int_0^{x_2} 2S\mathrm dx + \int_{x_2}^\frac{L}{2} 2\pi y^2\mathrm dx

  • Pour un tonneau debout

V=\int_{\frac L2 -h}^\frac L2 \pi y^2 \mathrm dx

\begin{align}V&=\pi\Biggl[\frac{4(d-D)^2}{5L^4}\left(\left(\frac L2\right)^5-\left(\frac L2-h\right)^5\right) \\ \ & +\frac{2D(d-D)}{3L^2}\left(\left (\frac L2\right)^3-\left(\frac L2-h\right)^3\right)+h\left(\frac D2\right)^2 \Biggr ] \end{align}

Surfaces

On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit S1 cette surface

S_1=2\int_0^\frac{L}{2} 2\pi y\mathrm ds

ds est la différentielle de l'abscisse curviligne.

\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\mathrm dx

S_1=4\pi\int_0^\frac L2(ax^2+b)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx

L'intégration se fait par le changement de variable : 2ax = sinh t

On arrive à :

\begin{align} S_1& =\frac{\pi L} {4}\Biggl[\sqrt{\frac{4(d-D)^2}{L^2}+1}\left ( d+D +\frac{L^2}{8(d-D)}\right) \\ \ & +\frac{L}{d-D}\left(D-\frac{L^2}{16(d-D)}\right)\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{L}\Biggr]\end{align}

Puis on ajoute les deux fonds : S_2=\frac{\pi d^2}{2}

S = S1 + S2

Surfaces partielles

Surface du tonneau en contact avec le liquide

  • Tonneau couché

Si h\le\frac{D-d}{2}, alors

S=\int_0^{x_1} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

\begin{align} S&=\int_0^\frac{L}{2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2} \mathrm dx \\ \ & +\frac 12\left(d^2(\arccos \frac{D-2h}{d}-(D-2h)\sqrt{d^2-(D-2h)^2})\right) \end{align}

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

\begin{align}S&=\int_0^{x_2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx \\ \ & + \int_{x_2}^\frac{L}{2} 4\pi \left(ax^2+\frac D2\right)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx +\frac{\pi d^2}{2}\end{align}

  • Tonneau debout

0 < h < L et en tenant compte d'un fond :

S=2\pi\int_{\frac L2-h}^\frac L2\left(ax^2+\frac D2\right)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx +\pi \frac{d^2}{4}

Si h = 0 alors S = 0. Et si h = L le tonneau est plein. Voir supra.

\begin{align} S&=\frac{\pi L}{8} \Biggl[ \sqrt{\frac{4(d-D)^2} {L^2} + 1 } \left( d+D + \frac{L^2}{8(d-D)}\right) \\ \ & - \frac{L-2h}{L}\sqrt{\frac {4(d-D)^2(L-2h)^2}{L^4}+1} \left(\frac{(d-D)(L-2h)^2}{L^2}+\frac{L^2}{8(d-D)} +2D\right) \\ \ & + \frac{L}{d-D}\left(D-\frac{L^2}{16(d-D)}\right)\left(\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{L^2}-\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)(L-2h)}{L^2}\right)\Bigg] \\ \ & +\frac{\pi d^2}{4}\end{align}

Surface de liquide en contact avec l'air

  • Tonneau couché

La génératrice est la parabole.

La corde c au point d'abscisse x s'exprime par :

c=\sqrt{4y^2-(D-2h)^2}

Si h\le\frac{D-d}{2},

S=\int_0^{x_1} 2c \mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}, alors

S=\int_0^\frac L2 2c \mathrm dx

Si h\ge\frac{D+d}{2}, alors

S=\int_0^{x_2} 2c\mathrm dx

  • Tonneau debout

La génératrice est la parabole

0 < h < L

S=\pi y^2=\pi\left( \frac{2(d-D)}{L^2}\left(\frac L2-h\right)^2+\frac D2\right)^2

Si h = 0 le tonneau est vide, et si h = L le tonneau est plein.

Voir aussi

Bibliographie

  • Grand dictionnaire universel du XIXe siècle par Pierre Larousse, à l'article Tonneau.

Liens internes

Liens externes

Notes et références

  1. Manuel pratique et élémentaire des poids et mesures, et du calcul décimal, par S.A. Tarbé, Paris, 1809, p. 409
  2. Mémoire sur la théorie du jaugeage par M. Dez, professeur royal de mathématiques à l'École royale militaire, in Mémoires de mathématique et de physique, Paris 1773, p. 383

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