Théorème du papillon

 Ne doit pas être confondu avec le lemme de Zassenhaus (en) ou « lemme du papillon » .

Figure du théorème du papillon

Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.

Énoncé

Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, MX = MY.

Démonstration

Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme X₁ le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme X₂ pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, Y₁ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et Y₂ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.

On remarque alors que les triangles MXX₁ et MYY₁ sont semblables car $\widehat{MX_{1}X}=\widehat{MY_{1}Y}$ (ce sont des angles droits) et $\widehat{X_{1}MX}=\widehat{Y_{1}MY}$ car ils sont opposés par le sommet ; d'où : $\frac{MX}{XX_1}=\frac{MY}{YY_1}$.

De même MXX₂ est semblable à MYY₂ et $\frac{MX}{XX_2}=\frac{MY}{YY_2}$.

On procède de la même manière pour les triangles semblables AXX₁ et CYY₂ sachant que $\widehat{XAX_{1}}=\widehat{YCY_{2}}$ car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : $\frac{AX}{XX_1}=\frac{CY}{YY_2}$.

De même DXX₂ est semblable à BYY₁ et $\frac{DX}{XX_2}=\frac{BY}{YY_1}$.

On a donc :

$\left( \frac{MX}{MY} \right)^2 = \frac{XX_1}{YY_1} \cdot \frac{XX_2}{YY_2}$

$= \frac{AX.DX}{CY.BY}$

$= \frac{PX.QX}{PY.QY}$ (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)

$= \frac{(PM-MX)(QM+MX)}{(PM+MY)(QM-MY)}$

$= \frac{PM^2-MX^2}{PM^2-MY^2}$ car PM = QM

Ainsi MX² = MY², ce sont des longueurs donc MX = MY.

M est bien le milieu du segment [XY].

Liens externes

• Une démonstration du théorème avec une animation Flash sur le site de Thérèse Eveilleau
• (en) 17 démonstrations différentes de ce thèorème sur cut-the-knot