Théorème des fermés emboités

En mathématiques, plus précisément en topologie, le théorème des fermés emboîtés affirme que si un espace métrique (E,d) est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides F_n de E dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des F_n est réduite à un point.

Démonstration

• Si on prend un élément x_n dans chaque F_n, la suite (x_n) est de Cauchy. En effet, pour un ε>0 fixé, il existe un rang N tel que le diamètre de F_N soit majoré par ε, et en particulier d(x_n,x_m)≤ε pour tous m,n≥N. Cette suite est donc convergente car E est complet.
• De plus, sa limite x appartient à chaque F_n. En effet, pour tout n, la suite $(x_m)_{m\ge n}$ est à valeurs dans F_n (puisque $m\ge n\Rightarrow x_m\in F_m\subset F_n$) donc sa limite x aussi (puisque F_n est fermé). On a donc prouvé que l'intersection des F_n est non vide.
• Enfin, elle est réduite à un point puisque son diamètre est nul (car majoré par tous les diamètres des F_n, dont l'inf est 0).

La réciproque de ce théorème est vraie : si un espace métrique vérifie la propriété des fermés emboîtés alors il est complet. En effet, pour toute suite x, l'intersection des fermés emboîtés ${}^{\overline{\left\{x_n,\;n\ge N\right\}}}$ est l'ensemble des valeurs d'adhérence de x, et la suite est de Cauchy si et seulement si la suite de leurs diamètres tend vers 0. Par conséquent, si l'espace vérifie la propriété des fermés emboîtés, alors toute suite de Cauchy possède une valeur d'adhérence, donc converge.

Lorsque ${}^{E=\R}$ et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend la forme suivante : soit [a_n,b_n] une suite décroissante de segments de $\R$ tels que b_n − a_n tende vers zéro, alors l'intersection des segments [a_n,b_n] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboîtés. On peut prouver, directement, ce cas particulier du théorème des fermés emboîtés, en remarquant que les suites (a_n) et (b_n) sont alors adjacentes.