Théorème de fubini

Théorème de Fubini

En mathématiques, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.

Énoncés

Théorème de Fubini-Tonelli — Soient $(X,\mathcal{A},\mu)$ et $(Y,\mathcal{B},\nu)$ deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies. Si $f:X\times Y\rightarrow \R_+$ est mesurable pour $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ (voir tribu produit) et positive sur $X \times Y$, alors les applications $x\mapsto f(x,\cdot)$ et $y \mapsto f(\cdot,y)$ ainsi que les applications

$x \mapsto \int_Y f(x,y) d \nu(y)\quad \text{et} \quad y \mapsto \int_X f(x,y) d \mu(x)$

sont mesurables positives. On a de plus

$\iint_{X \times Y} f(x,y) d\zeta(x,y) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) d\nu(y) \right] d\mu(x) = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) \,d\mu(x) \right] d\nu(y)$

où on a noté ζ la mesure produit sur $(X \times Y,\mathcal{A} \otimes \mathcal{B})$.

Théorème de Fubini-Lebesgue — Soient $(X,\mathcal{A},\mu)$ et $(Y,\mathcal{B},\nu)$ deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies. Si $f:X\times Y\rightarrow \R$ est intégrable sur $X \times Y$ pour $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ (voir tribu produit), alors la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est intégrable pour presque tout $y \in Y$, la fonction $y \mapsto f(x,y)$ est intégrable pour presque tout $x \in X$. En outre, les fonctions

$x \mapsto \int_Y f(x,y) d \nu(y)\quad \text{et} \quad y \mapsto \int_X f(x,y) d \mu(x)$

sont intégrables. On a de plus

$\iint_{X \times Y} f(x,y) d\zeta(x,y) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) d\nu(y) \right] d\mu(x) = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) \,d\mu(x) \right] d\nu(y)$

où on a noté ζ la mesure produit sur $(X \times Y,\mathcal{A} \otimes \mathcal{B})$.

Une mesure μ sur un espace X est dite σ-finie si et seulement s'il existe une réunion dénombrable de sous-ensembles de X de mesure finie et tel que la réunion est égale à X. C'est le cas de la mesure de Lebesgue. Les deux théorèmes sont faux si on ne suppose pas les mesures σ-finies.

Mise en œuvre

L'utilisation combinée de ces deux théorèmes permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour $f : X \times Y \rightarrow \R$ mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à | f | , ce qui donne

$\iint_{X \times Y} |f(x,y)| d\zeta(x,y) = \int_X \left[ \int_Y |f(x,y)| d\nu(y) \right] d\mu(x) = \int_Y \left[ \int_X |f(x,y)|\,d\mu(x) \right] d\nu(y)$

Le calcul des intégrales étant maintenant souvent plus aisée, si l'une des intégrales est finie, alors ceci montre que f est intégrable, et on a de plus d'après le théorème de Fubini-Lebesgue

$\iint_{X \times Y} f(x,y) d\zeta(x,y) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) d\nu(y) \right] d\mu(x) = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) \,d\mu(x) \right] d\nu(y)$

ce qui permet le calcul de l'intégrale.

Applications

• Dans le cas où $X = Y = \mathbb Z$ et où les mesures sur X et Y sont les mesures de dénombrement, on obtient le théorème suivant sur les séries doubles.

Permutation d'une série double — Si $(a_{nm})_{n \in \mathbb N, m \in \mathbb N}$ est une famille de réels positifs ou nuls, ou une famille de complexes telle que $\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \left| a_{nm} \right| < +\infty$, alors $\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{nm} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{nm}$

• Le produit de convolution de deux fonctions intégrables est lui-même intégrable.
• Calcul de l'intégrale de Gauss

∫	exp( − x2)dx
R

.

Contre-exemples

Si f n'est pas intégrable

Considérons

$\int_{[0,1]^2} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y).$

On a en intégrant tout d'abord par rapport à y:

$\begin{align} \int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy & = \int_0^1 \frac{x^2 + y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \, dy\\ &= \int_0^1 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy + \int_0^1 \frac{-2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \, dy\\ &= \int_0^1 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy + \int_0^1 y \left(\frac{d}{dy} \frac{1}{x^2 + y^2}\right) \, dy\\ &= \int_0^1 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy + \left(\left[\frac{y}{x^2 + y^2}\right]_{y=0}^1 - \int_0^1 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy\right)\\ &= \frac{1}{1 + x^2}.\end{align}$

Puis

$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.$

On a donc

$\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4}$

De manière symétrique, on a

$\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.$

Le théorème de Fubini ne s'applique par ici. En effet, la fonction considérée ici n'est pas intégrable :

$\int_0^1\int_0^1 \left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,dx\,dy=\int_0^1\left[\int_0^y \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx+\int_y^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\right]\,dy$

$=\int_0^1\left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}-\frac{1}{y^2+1}\right)\,dy=\int_0^1 \frac{1}{y}\,dy-\int_0^1\frac{1}{1+y^2}\,dy=+\infty.$

Cas d'une mesure non sigma-finie

Considérons l'ensemble I = [0,1]. Munissons le d'une part de la tribu borélienne $\mathcal{B}(I)$ et de la mesure de Lebesgue λ et d'autre part de la tribu constituée de l'ensemble $\mathcal{P}(I)$ des parties de I muni de la mesure de dénombrement.

Posons $\Delta=\{(x,x)\ /\ x \in [0,1]\}$. Comme $\mathcal{B}(I) \subset \mathcal{P}(I)$, on a $\mathcal{B}(I^2) \subset \mathcal{B}(I) \otimes \mathcal{P}(I)$. De plus, $g:(x,y) \in I \mapsto x-y \in \R$ est continue, donc Δ = g ^{− 1}({0}) est fermé dans I. On en déduit que $\Delta \in \mathcal{B}(I)$. Par suite, $\Delta \in \mathcal{B}(I) \otimes \mathcal{P}(I)$. La fonction indicatrice 1_Δ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.

D'un part, considérons

$A_1=\int_I \left[ \int_I 1_\Delta(x,y) dm(y) \right] d\lambda(x).$

Pour x fixé, on a 1_Δ(x,y) qui vaut 0 si $y \neq x$, 1 si x = y. On a donc 1_Δ(x,y) = 1_{x}(y). D'où

A1 =	∫	m({x})dλ(x) =	∫	dλ(y) = 1.
	I		I

D'autre part, on a

$A_2=\int_I \left[ \int_I 1_\Delta(x,y) d\lambda(x) \right] dm(y)=\int_I \lambda(\{x\}) dm(y)=\int_I0dm(y)=0.$

La théorème de Fubini ne s'applique pas ici (car sinon 0=1). Ceci s'explique car la mesure de dénombrement n'est pas σ-finie sur [0,1]. En effet, si elle l'était, cela signifie que [0,1] s'écrirait comme une réunion dénombrable d'ensembles de mesure finie, c'est-à-dire d'ensembles finis. L'intervalle [0,1] serait donc dénombrable, ce qui est absurde.

Voir aussi

Liens internes

• Intégrale de Lebesgue
• Tribu
• Guido Fubini

Liens externes

• [1] Un polycopié de cours de M. Mazet sur les mesures produits. On y trouve une preuve des deux versions du théorème de Fubini.

Bibliographie

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]

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