Théorème de dérivation des fonctions composées

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse, le théorème de dérivation des fonctions composées (parfois appelé règle de dérivation en chaîne ou règle de la chaîne, selon l'appellation anglaise) est une formule explicitant la dérivée d'une fonction composée pour deux fonctions dérivables.

Elle permet de connaître la j-ème dérivée partielle de la i-ème application partielle de la composée de deux fonctions de plusieurs variables chacune. Schématiquement, si une variable y dépend d'une seconde variable u, qui dépend à son tour d'une variable x, le taux de variation de y selon x est calculable comme le produit de taux de variation de y selon u et du taux de variation de u selon x : $\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac {\mathrm dy} {\mathrm du} \cdot\frac {\mathrm du}{\mathrm dx}$

Cas réel

Énoncé et démonstration

Soient I et J deux intervalles de $\mathbb{R}$, $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ et $g:J \longrightarrow \mathbb{R}$ des fonctions telles que $f(I) \subset J$, et a un point de I.

Si f est dérivable au point a et g est dérivable au point f(a) alors la composée $g \circ f$ est dérivable au point a et :

$(g \circ f)'(a)=(g'(f(a)))\times f'(a) \, ,$

où $\times$ est le produit usuel de $\mathbb{R}$. Si f est dérivable sur I et g dérivable sur J on a donc, sur I :

$(g \circ f)'=(g'\circ f)\times f'$.

Il est aussi possible de l'écrire avec la notation de Leibniz sous la forme:

$\frac {\text{d}g}{\text{d}x} = \frac {\text{d}g} {\text{d}f} \frac {\text{d}f}{\text{d}x}$

où $\frac {\text{d}g} {\text{d}f}$ indique que g dépend de f comme si f était une variable.

Pour une meilleure lecture on pose souvent $u = f(x)\,$ et on obtient :

$\frac {\text{d}}{\text{d}x} g \circ f(x) = \frac{\text{d}g(u)}{\text{d}u} \cdot \frac {\text{d}u}{\text{d}x}$

Démonstration

Soit b = f(a). D'après nos hypothèses f est dérivable en a et g en b.

Soit ε la fonction définie sur J par : $\varepsilon(y)={g(y)-g(b)\over y-b}-g'(b)$ si $y\neq b$, et ε(b) = 0. Ainsi,

-d'une part (puisque ε est continue en b) : $\varepsilon\circ f$ est continue en a, donc sa limite en a vaut ε(f(a)) = ε(b) = 0,

-d'autre part : pour tout $y\in J$ (y compris pour y = b), g(y) − g(b) = (g'(b) + ε(y))(y − b).

Formons le taux d'accroissement au point a de la fonction $g \circ f$ :

$\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\frac{g(f(x))-g(b)}{x-a}=\frac{(g'(b)+\varepsilon(f(x)))(f(x)-b)}{x-a}= \displaystyle(g'(b)+\varepsilon(f(x)))\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$

Quand x tend vers a, cette expression tend vers $\displaystyle (g'(b)+0)f'(a)=g'(f(a))f'(a)$.

Exemple

Soit la fonction $h : x \in \mathbb{R} \mapsto e^{\cos (x)}$ et les deux fonctions $f : x \in \mathbb{R} \mapsto \cos(x)$ et $g : x \in \mathbb{R} \mapsto e^x$. Nous avons par construction :

$h = g \circ f \, .$

En appliquant la formule de dérivation des fonctions composées, nous avons :

$h'(x) = (g \circ f)'(x) = (g'(f(x))) \times f'(x) \, .$

Sachant f'(x) = − sin(x) et g'(x) = e^x, nous obtenons finalement l'expression de la dérivée de la fonction h :

$h'(x) = - \sin(x) e^{\cos (x)} \, .$

Applications

C'est de cette règle que découle la règle du changement de variable pour le calcul d'intégrales.

Cas général

Soient E, F deux espaces vectoriels normés et G un espace vectoriel topologique séparé. Soient U un ouvert de E, V un ouvert de F, f une application de U dans V, g une application de V dans G, et a un point de U. Si f est dérivable au point a et g dérivable au point f(a) alors gof est dérivable au point a, et

${\rm D}_a(g\circ f)=({\rm D}_{f(a)}g)\circ{\rm D}_af$.

En particulier si E=Rⁿ, F=R^m et G=R^p, la matrice jacobienne de gof au point a est le produit de celle de g au point f(a) par celle de f au point a, ce qui peut s'écrire, en notant

$f(x)=(f_1(x),\ldots,f_m(x)),\qquad g(y)=(g_1(y),\ldots,g_p(y)),\qquad (g\circ f)(x)=h(x)=(h_1(x),\ldots,h_p(x))$ :

$\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a)=\sum_{k=1}^m\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(f(a))\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(a)$.

Voir aussi

• Formule de Faà di Bruno