Théorème de baire

Théorème de Baire

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. Un espace topologique est dit de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

Description

1. Un espace topologique localement compact E est de Baire ;
2. Un espace métrique complet (E,d) (notamment un espace de Banach) est de Baire ;
3. Tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire.

Démonstration

Dans ce qui suit, int(A) désigne l'intérieur d'une partie A de E.

1. Soit $(A_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'ouverts denses dans E localement compact. Soit V un ouvert quelconque (non vide); nous voulons montrer que :

$\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n$

rencontre cet ouvert. Comme E est localement compact, on peut sans perte de généralité supposer que cet ouvert est relativement compact (ie d'adhérence compacte).

Puisque A₁ est dense, il rencontre V : soit $x_1 \in A_1 \cap V$. Ce dernier ensemble, intersection de deux ouverts, est ouvert. Il existe donc un voisinage compact $U_1 \subset A_1 \cap V$ de x₁ (car il existe un système fondamental de voisinages compacts). Une fois U₁ choisi, $A_2 \cap int(U_1)$ est un ouvert non vide. Il existe donc un compact $U_2 \subset A_2 \cap int(U_1) \neq \varnothing$.

En itérant cette construction, on obtient une suite de compacts $\bar V = U_0 \supset U_1 \supset U_2 \supset \cdots \supset U_n \supset \cdots$ avec $\forall j\in\mathbb N^*, int(U_j) \neq \varnothing, \quad U_j \subset A_j \cap int(U_{j-1})$.

Or, $\bigcap_{n=0}^{+\infty} U_n \subset \bigcap_{j=1}^{+\infty} (A_j \cap {U_{j-1}}) \subset V \cap \left ( \bigcap_{j=1}^{+\infty} A_j \right )$ et l'intersection des U_n est non vide. En effet, les U_j sont des parties compactes de $U_0 = \bar V$; si leur intersection était vide, il en serait de même pour une certaine suite finie extraite (propriété de Borel-Lebesgue). Or, les U_n sont une suite décroissante d'ouverts non vides donc cela est impossible. Finalement, $V \cap \left ( \bigcap_{j=1}^{+\infty} A_j \right ) \neq \varnothing$, ce qui prouve le résultat.

2. Dans le cas où E est un espace métrique complet, le raisonnement est analogue. Soit V une boule fermée centrée en $a\in E$ et de rayon strictement positif. Il existe une suite de boules fermées de centre x_n et de rayon inférieur à $\frac 1n \quad (n\geq 1)$ telles que $V=B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset \cdots$ avec $\forall j\in\mathbb N^*, int(B_j) \neq\varnothing, \quad B_j \subset A_j \cap int(B_{j-1})$. La suite des B_n étant décroissante, on a $\forall p \in \mathbb N, d(x_{n+p}, x_n) \leq \frac 1n$. La suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ est donc une suite de Cauchy : elle converge donc vers un élément x qui appartient à toutes les B_n et $x\in \left ( \bigcap_{n=1}^{+\infty} B_n \right) \cap V \subset \left( \bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n \right ) \cap V$, ce qui prouve le résultat.

3. Soient O un ouvert d'un espace de Baire E et (U_n) une suite d'ouverts de O denses dans O, autrement dit chaque U_n est un ouvert de E, inclus dans O, et dont l'adhérence (dans E) contient O. Soit U l'intersection des U_n, il s'agit de prouver que son adhérence contient O. Posons $W=E\setminus\overline O$ et $V_n=U_n\cup W$. Alors les V_n sont des ouverts denses de E, donc leur intersection est dense, autrement dit l'adhérence de U contient $E\setminus\overline W$. Or ce dernier ensemble contient O, ce qui conclut.

Quelques applications

• Analyse fonctionnelle :
  • Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de l'isomorphisme de Banach ;
  • Théorème de Banach-Steinhaus ;
  • Théorème de la limite simple de Baire ;
  • Théorème de Baire-Brenef ;
  • L'ensemble des fonctions nulle part dérivables contient un G_δ dense pour la norme de la convergence uniforme dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle I.
• Connexité du tipi de Cantor ;
• Théorème de superposition de Kolmogorov ;
• Caractérisation des polynômes réels^[1],[2] : Si $\ f$ est une fonction $C^{\infty}$ telle que $(\forall x \in \mathbb{R}) (\exists n \in \mathbb{N}) (f^{(n)}(x)=0)$, alors c'est un polynôme
  On peut noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente $(\exists n \in \mathbb{N}) (\forall x \in \mathbb{R}) (f^{(n)}(x)=0)$). Ici, $\ f^{(n)}$ désigne la dérivée n-ième de $\ f$.

Notes et références

1. ↑ Carominas et Sunyer Balaguer, Revista Mat. Hisp.-Amer., 4, n°14, (1954), p.26-43
2. ↑ H. D. Brunk and R. P. Boas, Amer. Math. Monthly, 66, n°7 (Aug. - Sep., 1959), p. 599

Liens externes

• Gilles Godefroy, texte sur le théorème
• BwataBaire, un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires.

Théorèmes de l'analyse fonctionnelle

Théorème d'Ascoli • Théorème de Baire • Théorème de Banach-Alaoglu • Théorème de Banach-Mazur • Théorème de Banach-Schauder • Théorème de Banach-Steinhaus • Théorème du graphe fermé • Théorème de Hahn-Banach • Théorème de Lax-Milgram

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