Théorème de Sard

Le théorème de Sard, connu aussi sous le nom de lemme de Sard ou théorème de Morse-Sard, est un résultat de mathématiques qui donne des informations sur l'image K de l'ensemble des points critiques d'une fonction suffisamment régulière d'un espace euclidien vers un autre. L'ensemble K est alors négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Énoncé

On considère une fonction f définie sur un ouvert U de $\mathbb{R}^n$, à valeurs dans $\mathbb{R}^m$, et de classe C^r.

On appelle points critiques les points en lesquels l'application différentielle de f est non surjective, et valeurs critiques les images des points critiques. Les valeurs non critiques sont dites régulières (qu'elles soient des valeurs effectivement prises par f ou non).

Avec ces notations, le théorème de Sard s'énonce

si r > max(0,n − m), alors l'ensemble des valeurs critiques a une mesure de Lebesgue nulle.

En revanche, l'ensemble des points critiques peut être très important, par exemple si n < m, tous les points sont critiques, mais l'ensemble image de f sera quand même de mesure nulle.

Il résulte notamment du théorème que l'ensemble des valeurs régulières est dense dans $\mathbb{R}^m$, un fait déjà prouvé par A. Brown en 1935^[1], d'où le nom de théorème de densité de Sard (ou de Sard-Brown) parfois donné au théorème^[2].

Le cas m = 1 a été prouvé par Anthony Morse (en) en 1939^[3], et le cas général par Arthur Sard en 1942^[4]. Une version pour les espaces de Banach de dimension infinie a été prouvée par Stephen Smale^[5].

Notes

1. ↑ (en) A. Brown, Functional dependence, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 379-394
2. ↑ « The theorem of Sard and Brown » chez Milnor, « Sard's density theorem » pour Abraham-Robbin
3. ↑ (en) A. P. Morse, The behavior of a function on its critical set, Ann. Math. 40 (1939), p. 62-70
4. ↑ (en) A. Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), p. 883-890
5. ↑ (en) S. Smale, An infinite dimensional version of Sard's theorem, Amer. J. Math. 87 (1965), p 861-866

Références

• (en) John Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint [détail des éditions]
• (en) Ralph Abraham, Joel Robbin, Transversal mappings and flows [détail des éditions]