Théorème de Leibniz

Théorème de Leibniz
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Le théorème de Leibniz en géométrie se décrit comme suit :

Soit dans le plan deux points fixes A et B. Leibniz considère ainsi le lieu du point M tel que a ·(AM)² + b·(BM)² = cste. Soit G le barycentre de A(a) et B(b). Alors le lieu, s'il existe, est un cercle de centre G.

Démonstration

On développe (AG + GM)² et de même pour BM = BG +GM .

L'égalité se réduit à (a+b)(GM)²= cste qui doit être positive.

Remarque : si a + b = 0 , G est en quelque sorte rejeté à l'infini (un physicien considèrera que a + b = epsilon) : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.

Le théorème se généralise aisément à plusieurs points A, B, C.

Rapport avec l'analysis situs

Leibniz dans sa caractéristique géométrique représente l'écriture du cercle de la manière suivante: ABC γ ABY qui peut se lire "ABC pareil que ABY". Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B? On peut traduire encore de cette manière: AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B - distances égales).


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