Théorème de Heine


Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a,b] dans \R est uniformément continue.

Sommaire

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Théorème — Soit une fonction f~ de [a,b]~ dans \mathbb R, continue sur le segment [a,b]~. Alors, f~ est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

f~ étant continue en tout point x, nous savons donc que :

\forall x \in [a,b], \forall \varepsilon > 0, \exists \alpha_{x,\varepsilon} > 0 tel que \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_{x,\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment [a,b]~, c'est-à-dire que le \alpha~ peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

 \forall x \in [a,b], \exists \alpha_x en  \exists \alpha, \forall x \in [a,b] .

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

Propriété — \forall \varepsilon > 0, \exists \alpha_\varepsilon > 0 tel que \forall x \in [a,b], \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Démonstration

Fixons un \varepsilon > 0~ et posons, pour tout x\in[a,b], \beta_x=\frac 1 2\alpha_{x,\varepsilon/2} (où les  \alpha_{x,\epsilon/2} sont ceux liés à la continuité de f~).

Considérons [a,b]=\cup_{x\in[a,b]} \{x\} \subset \cup_{x\in[a,b]} B(x,\beta_x) . C'est un recouvrement de [a,b]~ par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : [a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_z) pour une certaine partie finie Z~ de [a,b]~.

Posons \alpha=min_{z\in Z}\beta_z. Alors, pour tous x,y\in[a,b] tels que |x-y|<\alpha~, en choisissant un z\in Z tel que x \in B(z,\beta_z) on obtient :

|x-z|<\beta_z~ et |y-z|<\alpha+\beta_z\le 2\beta_z=\alpha_{z,\varepsilon/2}.

Donc :

|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de x~, l'uniforme continuité est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général

Énoncé

Théorème — Soient X un espace métrique compact, Y un espace métrique, et f:X\to Y une application continue. Alors f\, est uniformément continue (sur X).

On note d~ la distance sur X~ et d'~ la distance sur Y~. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X~ dans Y~ est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha >0 tel que \forall a,b\in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon.

Démonstration directe

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement [a,b]~ par X~, \mathbb R par Y~, Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Démonstration par la propriété de Bolzano-Weierstrass

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant f~ non uniformément continue sur X~ et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur X~. Par hypothèse, il existe \varepsilon>0~ tel que pour chaque \alpha>0~, l'implication d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon soit fausse pour certains a,b~, en particulier tel que pour chaque n\in N^*, il existe deux points a_n~ et b_n~ de X~ tels que

 d(a_n,b_n)<\frac{1}{n} et d'(f(a_n),f(b_n))\ge\varepsilon.

La suite (a_n)~ est à valeurs dans le compact X~ donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note \varphi\, l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation  d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac{1}{\varphi(n)} montre que (bφ(n)) converge aussi vers a~. Il s'ensuit que pour tout \eta>0~, il existe x,y\in B(a,\eta) tels que d'(f(x),f(y))\geq\varepsilon donc tels que d'(f(x),f(a))\geq\varepsilon/2 ou d'(f(y),f(a))\geq\varepsilon/2, ce qui prouve la non continuité de f~ au point a~.

Voir aussi


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