Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment [a,b] dans $\R$ est uniformément continue.

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Théorème — Soit une fonction $f~$ de $[a,b]~$ dans $\mathbb R$, continue sur le segment $[a,b]~$. Alors, $f~$ est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

$f~$ étant continue en tout point x, nous savons donc que :

$\forall x \in [a,b], \forall \varepsilon > 0, \exists \alpha_{x,\varepsilon} > 0$ tel que $\forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_{x,\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment $[a,b]~$, c'est-à-dire que le $\alpha~$ peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

$\forall x \in [a,b], \exists \alpha_x$ en $\exists \alpha, \forall x \in [a,b]$.

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

Propriété — $\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha_\varepsilon > 0$ tel que $\forall x \in [a,b], \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Démonstration

Fixons un $\varepsilon > 0~$ et posons, pour tout $x\in[a,b]$, $\beta_x=\frac 1 2\alpha_{x,\varepsilon/2}$ (où les $\alpha_{x,\epsilon/2}$ sont ceux liés à la continuité de $f~$).

Considérons $[a,b]=\cup_{x\in[a,b]} \{x\} \subset \cup_{x\in[a,b]} B(x,\beta_x)$. C'est un recouvrement de $[a,b]~$ par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : $[a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_z)$ pour une certaine partie finie $Z~$ de $[a,b]~$.

Posons $\alpha=min_{z\in Z}\beta_z$. Alors, pour tous $x,y\in[a,b]$ tels que $|x-y|<\alpha~$, en choisissant un $z\in Z$ tel que $x \in B(z,\beta_z)$ on obtient :

$|x-z|<\beta_z~$ et $|y-z|<\alpha+\beta_z\le 2\beta_z=\alpha_{z,\varepsilon/2}$.

Donc :

$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de $x~$, l'uniforme continuité est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général

Énoncé

Théorème — Soient X un espace métrique compact, Y un espace métrique, et $f:X\to Y$ une application continue. Alors $f\,$ est uniformément continue (sur X).

On note $d~$ la distance sur $X~$ et $d'~$ la distance sur $Y~$. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de $X~$ dans $Y~$ est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

$\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall a,b\in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon$.

Démonstration directe

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement $[a,b]~$ par $X~$, $\mathbb R$ par $Y~$, Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Démonstration par la propriété de Bolzano-Weierstrass

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant $f~$ non uniformément continue sur $X~$ et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur $X~$. Par hypothèse, il existe $\varepsilon>0~$ tel que pour chaque $\alpha>0~$, l'implication $d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon$ soit fausse pour certains $a,b~$, en particulier tel que pour chaque $n\in N^*$, il existe deux points $a_n~$ et $b_n~$ de $X~$ tels que

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d'(f(a_n),f(b_n))\ge\varepsilon$.

La suite $(a_n)~$ est à valeurs dans le compact $X~$ donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\varphi\,$ l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac{1}{\varphi(n)}$ montre que (b_φ(n)) converge aussi vers $a~$. Il s'ensuit que pour tout $\eta>0~$, il existe $x,y\in B(a,\eta)$ tels que $d'(f(x),f(y))\geq\varepsilon$ donc tels que $d'(f(x),f(a))\geq\varepsilon/2$ ou $d'(f(y),f(a))\geq\varepsilon/2$, ce qui prouve la non continuité de $f~$ au point $a~$.

Voir aussi

• Lemme de Cousin