Théorème de Gentzen

Gerhard Gentzen

Gerhard Gentzen (24 novembre 1909 à Greifswald - 4 août 1945 à Prague) fut un mathématicien et logicien allemand. Son œuvre est fondamentale en théorie de la démonstration. Il fut l'un des étudiants de Weyl à l'université de Göttingen de 1929 à 1933, il est mort dans un camp de prisonnier de guerre en 1945, après avoir été arrêté par les soviets à cause de ses loyautés nazies.

Gentzen a inventé deux systèmes de déduction pour la logique du premier ordre, la déduction naturelle et le calcul des séquents. Pour ce dernier, il a démontré son Hauptsatz (théorème principal), publié en 1934 dans ses Recherches sur la déduction logique.

Le théorème fondamental affirme que toute démonstration purement logique peut se ramener à une forme normale déterminée, qui n'est d'ailleurs nullement univoque. On peut formuler les propriétés essentielles d'une telle démonstration normale à peu près de la façon suivante : elle ne comporte pas de détours. On n'y introduit aucun concept qui ne soit pas contenu dans son résultat final et qui, par conséquent, ne doive pas nécessairement être utilisé pour obtenir ce résultat.^[1]

Gentzen a aussi démontré la cohérence de l'arithmétique de Peano (en 1936) en utilisant un principe d'induction jusqu'à l'ordinal dénombrable ε₀, mais pour des formules de faible complexité logique. Les méthodes utilisées pour cette démonstration se sont révélées essentielles pour la théorie de la démonstration moderne.

La théorie dans laquelle cette preuve peut se formaliser est nécessairement plus forte que l'arithmétique de Peano d'après le second théorème d'incomplétude de Gödel (au sens où si elle permet de prouver la cohérence de l'arithmétique de Peano, sa cohérence ne pourra donc se prouver dans cette arithmétique). On a pu voir cette preuve, à laquelle Gödel s'est beaucoup intéressé, comme une tentative pour réhabiliter le programme de Hilbert, en élargissant la notion de méthodes finitaires à des inductions jusqu'à certains ordinaux comme ε₀. La cohérence de la théorie utilisée par Gentzen pour sa preuve, bien que plus forte, serait moins douteuse que la cohérence de l'arithmétique de Peano, parce que l'induction, bien que jusqu'à un ordinal (forcément supérieur à celui des entiers), se fait sur des formules simples. Cela n'est plus guère soutenu tel quel. De façon plus objective, cette preuve permet d'analyser la cohérence de l'arithmétique de Peano ; par exemple le résultat de cohérence permet d'en mesurer la "force" par l'ordinal ε₀. En généralisant, on a pu ainsi engager une classification des théories arithmétiques.

Théorèmes de Gentzen

Gentzen est connu pour deux théorèmes:

1. le théorème d'élimination des coupures en calcul des séquents, voir Calcul des séquents
2. le théorème de cohérence de l'arithmétique

Références

1. ↑ Gerhard Gentzen (trad. R. Feys et J. Ladrière), Recherches sur la déduction logique [« Untersuchungen über das logische schließen »], Presses Universitaires de France, 1955, p. 4-5.
   Traduit et commenté
    

Voir aussi

• Théorème d'incomplétude de Gödel
• Les articles fondamentaux de Gentzen sur le Web (en allemand) : article 1 et article 2

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