Théorème de Gaus-Bonnet

Formule de Gauss-Bonnet

En géométrie, la formule de Gauss-Bonnet est une propriété reliant la géométrie et la topologie des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d'une version du théorème, mais ne la publia jamais, et Pierre Ossian Bonnet, qui en publia un cas particulier en 1848.

Énoncé

Soit M une surface compacte (sans bord) ; alors l'intégrale de la courbure de Gauss permet de retrouver la caractéristique d'Euler de la surface

$\int_M K\;dA=2\pi\chi(M)$

Pour une variété compacte à bord, la formule devient

$\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)$

en notant k_g la courbure géodésique aux points du bord $\partial M$.

Si le bord $\partial M$ est seulement régulier par morceaux, la formule tient encore en prenant au lieu de l'intégrale $\int_{\partial M}k_g\;ds$ la somme des intégrales correspondantes sur les portions régulières du bord, plus la somme des angles formés aux points anguleux.

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