Théorème d'isomorphisme

Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphisme

Proposition —  Soient G et G' deux groupes et soit $f:G \rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $\ker \, f$ est un sous-groupe normal de G.

Démonstration

Notons . la loi de G et G'. On notera alors 1 l'élément neutre de G et G'.

Vérifions que $\ker \, f$ est stable par conjugaison, c'est-à-dire que si $(x, h) \in G\times \ker f, x . h . x^{-1} \in \ker f$.

f(x.h.x ^{− 1}) = f(x).f(h).f(x ^{− 1})

Comme $h \in \ker f$, f(h) = 1. Donc, f(x.h.x ^{− 1}) = f(x).f(x ^{− 1}) = f(x.x ^{− 1}) = f(1) = 1

D'où $x . h . x^{-1} \in \ker f \,$ et $\ker \, f$ est un sous-groupe normal de G.

Le fait que $Ker \, f$ soit un sous-groupe distingué de G permet de définir sur le groupe quotient $G / Ker \, f$ une loi compatible avec celle du groupe G. Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes $f : G \rightarrow G'$ va permettre de définir l'isomorphisme $h : G / Ker \, f \rightarrow {\rm Im} \, f$.

Premier théorème d'isomorphisme — Soient G et G' deux groupes, et soit $f:G \rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors f induit un isomorphisme de $G/\ker\, f$ vers f(G).

Démonstration

Construisons l'application h de $G/\ker \, f$ vers $Im \, f = f(G)$.

h est définie de la façon suivante :

pour $[x] \in G/\ker$, h([x]) = f(x) où x est un représentant de la classe d'équivalence [x].

h est ainsi bien définie. En effet, soit y un autre représentant de la classe d'équivalence [x], alors :

h([y]) = f(y) = f(xx ^{− 1}y) = f(x)f(x ^{− 1}y).

Comme $x \mathcal R y$, $x^{-1} y \in \ker \, f$ et f(x ^{− 1}y) = 1. D'où h([y]) = f(x) = h([x]).

Puisque la valeur de l'aplication h ne dépend pas du représentant choisi de la classe [x], cette application est bien définie.

Par définition, h est un morphisme de groupe.

Montrons que h est injective. Soient [x] et [y] $\in G/\ker \, f$ tels que h([x]) = h([y]).

Donc f(x) = f(y)

f(x)f(y) ^{− 1} = 1

f(xy ^{− 1}) = 1

$x y^{-1} \in \ker \, f$.

Par définition de la classe d'équivalence sur $G/\ker \, f$, on a [x] = [y]. L'application h est donc injective.

D'après le théorème du rang, ${\rm dim \, Im }f+{\rm dim \, Ker }f = \dim G$,

alors $\dim G - {\rm dim \, Ker }f = {\rm dim \, Im }f$.

Or, $\dim G/\ker \, f = \dim G - {\rm dim \, Ker }f$.

Donc, $G/\ker \, f$ et ${\rm dim \, Im }f \,$ ont même dimension.

Comme l'espace de départ et d'arrivée de h ont même dimension, si h est injective, alors h est aussi surjective. Donc h est un isomorphisme.

Ici, kerf désigne le noyau de f et G / kerf désigne le quotient du groupe G par le noyau de f.

On a donc le diagramme commutatif suivant :

où s est la surjection canonique, i l'injection identité et h est l'isomorphisme induit de $G/\ker \, f$ vers $Im \, f = f(G)$.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G. Alors $N \cap H$ est un sous-groupe normal de H, et on a l'isomorphisme suivant:

$H/(H\cap N)\simeq N H/N.$

Démonstration

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Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe, N et M deux sous-groupes normaux de G. Alors N / M est alors un sous-groupe normal de G / M et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

Démonstration

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