Théorème d'Alexandrov

Compactifié d'Alexandroff

Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère $\tilde{X} = X \cup \{x\}$ où $x \not\in X$, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de $\tilde{X}$ est constitué par :

• les ouverts de X,
• les sous-ensembles de la forme $\{x\} \cup K^c$, où K^c est le complémentaire d'un compact K de X.

On vérifie alors que $\tilde{X}$ muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace $\tilde{X}$ s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact X ; x s'appelle le point à l'infini de $\tilde{X}$ et se note également ∞.

Exemples

Le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb R^n$ est homéomorphe à la sphère de dimension n.

Par exemple le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb R$ est un cercle, celui de $\mathbb R^2$ (ou $\mathbb{C}$) est une sphère, appelée communément sphère de Riemann.

Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.

Voir aussi

Compactification

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