Théorie de la décision

La théorie de la décision est une théorie de mathématiques appliquées ayant pour objet la prise de décision en univers risqué.

Les limites de la théorie des probabilités

En présences de choix, la théorie des probabilités propose de calculer les espérances mathématiques de gain et d'opter pour le choix qui maximise cette espérance de gain. Cependant ce procédé a plusieurs limites. La théorie de la décision vise à apporter une réponse à ces cas limites.

Risque ou incertitude ?

En théorie de la décision, on distingue le risque de l'incertitude. Le risque désigne une situation dans laquelle les distributions de probabilités sur les résultats existent et sont connues des agents : c'est par exemple le cas du loto ou d'un lancer de dés. L'attitude vis-à-vis du risque d'un décideur est cruciale pour comprendre son comportement face à des situations risquées. Considérons le choix de participer à un jeu où le joueur a une chance sur dix de gagner cent fois sa mise. L'espérance de gain est très positive et tout joueur serait prêt à miser 1 euro ; mais que serait le choix de jouer si la mise obligatoire était toute la fortune du joueur^[1] ? Dans le premier cas, on parlera de préférence pour le risque et dans le second cas, d'aversion pour le risque. Le comportement normal est une certaine aversion au risque^[2].

Si les situations de risque constituent, dans la vie courante, des situations assez marginales, l'incertitude est en revanche omniprésente. Elle désigne les situations dans lesquelles les distributions de probabilités n'existent pas ou ne sont pas connues des agents. C'est par exemple le cas d'une course de chevaux : sur quel cheval parier sachant que l'on ne connaît pas la probabilité qu'a chaque cheval de gagner ? La théorie de la décision est également capable d'apporter des réponses à ce type de situation.

Gain non quantifiable

D'autre part, dans de nombreux cas, les gains ne sont pas quantifiables (voir l'exemple du pari de Pascal, ou de l'assurance vie), difficilement mesurables (comme les catastrophes) ou difficilement comparables. Là encore, la théorie de la décision cherche à apporter des réponses, à établir des préférences.

La théorie de la décision dans le risque

Optimisation et maximalisation sont les deux mots-clés définissant les théories de la prise de décision basées sur la rationalisation, c’est-à-dire les théories définissant les normes logiques et rationnelles que tous les preneurs de décisions sont censés suivre pour que le choix soit celui qui "rapporte" le plus. La théorie de l'utilité espérée est l'approche la plus communément retenue par la théorie de la décision pour décrire les choix risqués. Introduisons d'abord quelques notations:
L'incertitude est décrite par un ensemble d'états du monde $\Omega=\left\{ \omega_{1},...,\omega_{n}\right\}$ partitionné par la famille de parties ${\textstyle \mathcal{P}(\Omega)=2^{n}}$.
Un élément de ${\textstyle \mathcal{P}(\Omega)}$ est appelé événement.
Une variable aléatoire f est une fonction qui associe à chaque ω un résultat noté x.
L'ensemble des résultats est noté X, X étant un sous-ensemble de ${\textstyle \mathbb{R}}$.
On écrit ${\textstyle \mathcal{A}=\left\{ f:\Omega\rightarrow X\right\} }$ l'ensemble des variables aléatoires.
Dans le cas du risque, le décideur est supposé connaître les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires. La distribution induite par la variable aléatoire f est notée l_f. La relation binaire $\succcurlyeq$ signifie "est préféré ou indifférent à". Elle compare des loteries (ou distributions de probabilités), c'est-à-dire des projets risqués de la forme l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n) où $\forall i=1,...,n,x_i$ est le résultat obtenu avec la probabilité p_i. On écrit $\mathcal{L}=\left\{ l_{f}:X\rightarrow\left[0;1\right]\mid{\textstyle f\in\mathcal{A}},\sum_{i=1}^{i=n}l_{f}(x_{i})=1\right\}$ l'ensemble des distributions de probabilités. La règle de décision développée par Von Neumann et Morgenstern en 1944, connue sous le nom "d'utilité espérée", repose sur les hypothèses suivantes, qui sont appelées axiomes et sont postulées sur la relation $\succcurlyeq$.

Axiome 1 (préordre total). $\succcurlyeq$ est un préordre total. Cela signifie que :

• $\forall l,l^{\prime}\in\mathcal{L},l\succcurlyeq l^{\prime}$ ou $l^{\prime}\succcurlyeq l$ (totalité);
• ${\textstyle \forall l\in\mathcal{L}},l\succcurlyeq l$ (réflexivité);
• ${\textstyle \forall l,l^{\prime},\hat{l}\in\mathcal{L},(l\succcurlyeq l^{\prime}\wedge l^{\prime}\succcurlyeq\hat{l})\Rightarrow l\succcurlyeq\hat{l}}$ (transitivité).

Axiome 2 (Monotonie). $\succcurlyeq$ est monotone si pour toutes loteries l et $l^{\prime}$ dans ${\textstyle \mathcal{L}}$ on a $\forall s\in S,f(s)\geq g(s)\Rightarrow l_{f}\succcurlyeq l_{g}$.

Axiome 3 (Continuité). $\succcurlyeq$ est continue si pour toutes loteries l_f,l_g et l_h telles que $l_{f}\succ l_{g}\succ l_{h}$, $\exists \alpha,\beta\in\left]0;1\right[$ tels que : ${\textstyle \alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succ l_{g}\succ\beta l_{f}+(1-\beta)l_{h}}$.

Axiome 4 (Indépendance). $\succcurlyeq$ est indépendante si pour tout α dans $\left[0;1\right]$ et pour toutes loteries l_f,l_g et l_h on a : $l{}_{f}\succcurlyeq l_{g}\Longleftrightarrow\alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succcurlyeq\alpha l_{g}+(1-\alpha)l_{h}$

Nous pouvons maintenant présenter le théorème de représentation de Von Neumann et Morgenstern :

Théorème. Pour une loterie l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n), on définit la fonction espérance-utilité par $EU(l)=\sum_{i=1}^{n}u(x_{i})p_{i}$ où u est une fonction à valeurs réelles. Etant donnée une relation de préférences $\succcurlyeq$, les deux propositions suivantes sont équivalentes:

(i) $\succcurlyeq$ satisfait les axiomes 1-4;

(ii) Il existe une fonction à valeurs réelles $u:X\rightarrow\mathbb{R}$ positive à une transformation affine croissante près telle $\forall l,l^{\prime}\in\mathcal{L},l\succcurlyeq l^{\prime}\Longleftrightarrow EU(l)\geq EU(l^{\prime})$.

Le contenu descriptif du modèle de décision EU a été rapidement critiqué dans une expérience restée cèlèbre sous le nom de "paradoxe d'Allais". La version présentée ici est celle de Kahneman et Tversky (1979). Les sujets doivent choisir entre deux paires de loteries. D'une part, entre l₁ = (3000,1) et l₂ = (0,0.2;4000,0.8) et, d'autre part, entre l₃ = (0,0.75;3000,0.25) et l₄ = (0,0.8;4000,0.2). Le choix le plus fréquemment observé est l₁ dans la première paire et l₄ dans la seconde paire, en contradiction avec les prédictions de la fonction EU(.). Plus spécifiquement, c'est l'axiome d'indépendance qui est violé par les individus. Pour résoudre ce paradoxe, une réponse courante consiste à supposer que le traitement des probabilités n'est pas linéaire. Les individus "déforment" les probabilités en fonction des résultats (par exemple, ils sous-estiment la probabilité d'obtenir 3000 dans la loterie l₃). Principalement axiomatisé par Quiggin (1982), le modèle suivant, appelé "Rank-Dependent Expected Utility " (RDEU), repose principalement sur un affaiblissement de l'axiome d'indépendance. Celui-ci ne tient plus que sur les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires ayant le même tableau de variation, c'est-à-dire qui sont communément monotones, ou encore comonotones :

Axiome 4' (Indépendance comonotone). $\succcurlyeq$ est indépendante pour les variables aléatoires comonotones si pour tout α dans $\left[0;1\right]$ et pour toutes loteries l_f,l_g et l_h telles que $\forall s \in S, (f(s)-f(s^{\prime}))(g(s)-g(s^{\prime})) \geq 0$, $(g(s)-h(s^{\prime}))(g(s)-h(s^{\prime})) \geq 0$ et $(f(s)-h(s^{\prime}))(f(s)-h(s^{\prime})) \geq 0$ on a : $l{}_{f}\succcurlyeq l_{g}\Longleftrightarrow\alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succcurlyeq\alpha l_{g}+(1-\alpha)l_{h}$

Théorème. Etant donnée une relation de préférences $\succcurlyeq$, les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) $\succcurlyeq$ satisfait les axiomes 1-3 et l'axiome 4'; (ii) Il existe une fonction à valeurs réelles $u:X\rightarrow\mathbb{R}$ positive à une transformation affine croissante près et une fonction à valeurs réelles croissante $\phi:\left[0;1\right]\rightarrow\left[0;1\right]$ telle que la valeur d'une loterie l = (x₁,p₁;...;x_n,p_n) est donnée par $V(l)=RDEU(l)=\underset{S}{\int}u(f)d\phi(p)=\sum_{i=1}^{n}(\phi(\sum_{j=i}^{n}p_{j})-\phi(\sum_{j=i+1}^{n}p_{j}))u(x_{i})$ et $\forall l,l^{\prime}\in\mathcal{L},l\succcurlyeq l^{\prime}\Longleftrightarrow RDEU(l)\geq RDEU(l^{\prime})$.

La théorie de la décision dans l'incertain

L'utilité espérée a été élargie dès 1954 par L.J. Savage aux situations incertaines. Son axiomatisation comporte six axiomes lorsque l'ensemble Ω est fini. Un axiome "clé" est le suivant :

Axiome (Principe de la chose sûre). $\succcurlyeq$ est telle que pour tout événement E et actes $f,g,f^{\prime}$ et $g^{\prime}$ tels que $\forall s \in E, f(s)=f^{\prime}(s)$ et $g(s)=g^{\prime}(s)$, et $\forall s \in E^{c}, f(s)=g(s)$ et $f^{\prime}(s)=g^{\prime}(s)$, $f\succcurlyeq g$ si et seulement si $f^{\prime}\succcurlyeq g^{\prime}$.

En addition aux hypothèses "standards" (préordre complet, monotonie, continuité), cet axiome permet à la relation de préférences d'être représentée par une fonction SEU(.) tel que $SEU : f \longmapsto SEU(f)=\int_S u(f)dP(s)$ où :

• La fonction $u: X \rightarrow \mathbb{R}$ est affine à une transformation affine croissante près ;
• La fonction d'ensemble $P : \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow [0,1]$ est une mesure de probabilité ;
• SEU signifie "Subjective Expected Utility", l'adjetif "subjective" étant là pour rappeler que la mesure P(.) est attribuée par le décideur et n'est pas une donnée objective du problème de décision.

Bien que séduisant par sa simplicité et sa relative souplesse d'utilisation comparée à d'autres approches, le modèle de l'utilité espérée dans l'incertain a fait l'objet de plusieurs critiques expérimentales. La principale est liée au principe de la chose sûre, qui neutralise l'impact de l'ambiguïté sur les préférences, comme le suggère l'exemple suivant, qui constitue une variante du paradoxe d'Ellsberg (1961).

Exemple(Paradoxe d'Ellsberg). Un individu est face à une urne contenant 30 boules rouges, et 60 boules bleues ou vertes, sans information supplémentaire sur le nombre exact de boules vertes d'une part, de boules bleues d'autre part. La probabilité d'obtenir une boule rouge, notée P(R) ,est donc connue et égale à $\frac{1}{3}$, de même que celle d'obtenir une boule qui serait soit bleue, soit verte : $P(B \cup V)=\frac{2}{3}$. Cependant, il ne s'agit pas d'une situation de risque puisque la probabilité d'obtenir une boule bleue, P(B), varie dans l'intervalle $[0,\frac{2}{3}]$, tout comme celle d'obtenir une boule verte, P(V). Nous parlons d'ambiguïté pour qualifier une telle situation, dans laquelle seulement une partie de l'information est probabilisée. Supposons que l'individu doive effectuer un choix entre les actes suivants :

• a=(1 si R, 0 si B, 0 si V) contre a'=(0 si R, 1 si B, 0 si V)
• b=(1 si R, 0 si B, 1 si V) contre b'=(0, si R, 1 si B, 1 si V)

Dans le choix "a contre a'", on observe généralement $a \succcurlyeq a'$, tandis que dans le choix "b contre b'", on observe $b' \succcurlyeq b$. L'aversion pour ambiguïté des individus explique ce type de choix. Le premier choix s'explique par le fait que l'individu connaît la probabilité que la boule soit rouge, et le second par le fait qu'il connaît la probabilité qu'elle soit bleue ou verte (mais pas celle qu'elle soit rouge ou verte). Il s'agit d'une contradiction directe du principe de la chose sûre. Par conséquent, de telles préférences ne peuvent être décrites par le critère de l'utilité espérée. En effet, supposons que ce soit le cas. Nous avons donc $a \succcurlyeq a'$ si et seulement si $\frac{1}{3} \geq P(B)$ et $b' \succcurlyeq b$ si et seulement si $P(B)+P(V) \geq P(R) + P(V)$. Hormis le cas de l'égalité, il s'agit clairement d'une contradiction, raison pour laquelle ce type d'expérience a été qualifié de paradoxal.

D'autres modèles, appelées "Non-Expected Utility" modèles, ou modèles non-additifs, ont donc été axiomatisés dans l'incertain pour résoudre ce type de paradoxe.

Notes

1. ↑ À l'inverse, le loto a de nombreux émules bien que son espérance de gain soit négative.
2. ↑ Le goût du risque est considéré comme une pathologie du joueur.

Voir aussi

• Information Partielle Linéaire

Auteurs

• Herbert Simon
• Bernard Roy

Articles connexes

• Paradoxe de Condorcet
• Paradoxe de Newcomb
• Paradoxe de Saint-Pétersbourg
• Filtrage collaboratif
• Théorie des jeux
• Aversion au risque
• Fonction d'utilité

Bibliographie

• Méthodologie Multicritère d'Aide à la Décision, Bernard Roy, Economica, 1985 (ISBN 2717809015 et 978-2717809015)
• Aide multicritère à la décision, Bernard Roy et Denis Bouyssou, Economica, 1993 (ISBN 2717824731 et 978-2717824735)
• L'aide multicritère à la décision, Philippe Vincke, Ellipse Marketing, 1998 (ISBN 2729889426 et 978-2729889425)
• Risque et décision, Jean-Pascal Gayant, Vuibert, 2001 (ISBN 2-7117-7538-0)