Theorie Elo


Theorie Elo

Classement Elo

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Le classement Elo est un système d'évaluation du niveau de capacités relatif d'un joueur d'échecs ou de jeu de go, ou d'autres jeux à deux joueurs. Plus généralement, il peut servir à comparer deux joueurs d'une partie, et est utilisé par de nombreux jeux en ligne.

Elo se trouve parfois écrit par erreur en haut de casse ELO. Or, il ne s'agit pas d'un acronyme. Il doit son nom à Arpad Elo (1903-1992), un professeur de physique et excellent joueur d'échecs américain d'origine hongroise qui l'a mis au point.

Sommaire

Théorie Elo

La formule d'Elo repose sur la résolution d’une équation différentielle avec une hypothèse qui se vérifie relativement bien. Ce qui explique les petites différences que l’on peut constater entre le système Elo et la loi normale.

Prenons 3 joueurs a, b, c. Les notations P(a / b), P(a / c), P(b / c) expriment respectivement la probabilité que a gagne contre b ; la probabilité que a gagne contre c et pour finir la probabilité que b gagne contre c.

On peut écrire : \frac{P(a/c)}{1-P(a/c)}=\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\times\frac{P(b/c)}{1-P(b/c)} {1}
Explication : si on note Fac le membre de gauche, ça représente la force de a contre c. La formule devient :

Fac = Fab.Fbc, ce qui est admissible : les forces se multiplient.

Remarque : cette formule est très fausse avec quelques parties et devient de plus en plus vraie quand le nombre de parties disputées grandit.

\ln\left(\frac{P(a/c)}{1-P(a/c)}\right)=\ln\left(\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\right)+\ln\left(\frac{P(b/c)}{1-P(b/c)}\right){2}
Posons :
{3}  D_{ab}=Z\times\ln\left(\frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}\right) ; de même pour Dac et Dbc

Nous obtenons : Dac = Dab + Dbc {4}
On peut prendre la fonction inverse de [3] :  \frac{P(a/b)}{1-P(a/b)}=e^{\frac{D_{ab}}{Z}}  ; posons : \mathcal{E}= e^{\frac{D_{ab}}{Z}}.
En résolvant, on trouve : P=\mathcal{E}\times(1-P) ; \mathcal{E}=\mathcal{E}\times P+P; \mathcal{E}=P \times (\mathcal{E}+1) ; P=\frac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}+1} ;

{6} : P=\frac{1}{1+e^{- \frac{D}{Z}}}.

En différenciant, on trouve :

\frac{dP}{dD}=\frac{1}{Z}\times\frac{e^{- \frac{D}{Z}}}{\left(1+e^{- \frac{D}{Z}}\right)^2}  {7}, qui est la distribution de Verhulst.

On prendra D égal à la différence de classement et Z égal à  \frac{400}{\ln10}.

Mode de calcul

Les fédérations nationales utilisent souvent un système légèrement différent de celui de la Fédération internationale des échecs (FIDE).

Il existe souvent deux classements distincts : l'un au niveau international, géré par la FIDE, et dit « Classement FIDE » ou « Classement international », et un au niveau national, géré en France par la FFE, par la FQE au Québec, par la FCE au Canada et par la FSE en Suisse, dit « Elo national ». Un joueur peut disposer à la fois d'un classement international et d'un ou plusieurs classements nationaux qui évoluent indépendamment.

Jusqu'en 1993, le seuil minimal du classement FIDE était fixé à 2200[1], soit le niveau d'un candidat maître, les amateurs ne disposaient que du classement national. Il a été abaissé progressivement jusqu'à atteindre 1200 depuis le 1er juillet 2009, soit le niveau d'un joueur de club moyen, et l'intention de la FIDE est de le baisser jusqu'à 1000[2], qui est le niveau d'un débutant.

Depuis le 1er juillet 2009, la différence maximale entre deux classements pour le calcul des points gagnés / perdus après chaque partie a été ramenée à 400 points au lieu de 350 précédemment.

Calcul du classement FIDE

Nombre de classés FIDE par tranche Elo (données 2008)
Premier classement 

Dans un système suisse où le joueur rencontre au moins trois joueurs classés FIDE :

  • on détermine le classement moyen des adversaires, Rc.
  • on calcule le pourcentage de gain contre ces adversaires, p (c'est-à-dire la somme des points obtenus divisée par le nombre de parties)
  • on détermine d(p) en fonction de la table 10.1[3]
  • si p < 0,5, alors Ru=Rc + d(p)
  • si p = 0,5, alors Ru=Rc
  • si p > 0,5, alors Ru=Rc + 12,5 points par demi-point obtenu au-dessus de 50%

Dès qu'il existe 9 parties jouées, le premier classement publié sera égal à la moyenne pondérée des Ru de chaque tournoi, arrondie à l'entier le plus proche, si toutefois celle-ci dépasse 1400.

Par exemple, un joueur qui joue trois tournois :

  • dans le premier, il réalise un Ru=2280 sur 5 parties
  • dans le second, Ru=2400 sur 10 parties
  • dans le troisième, Ru=2000 sur 5 parties

Son premier classement sera :

  • Rn = ( 2280 x 5 + 2400 x 10 + 2000 x 5 ) / 20 = 2270.
Classement habituel 

Pour chaque partie jouée contre un joueur classé FIDE :

  • on détermine la différence d de classement entre le joueur adverse et le sien (ramenée à 400 si elle dépasse 400 depuis le 1er juillet 2009 - au lieu de 350 avant cette date)
  • on détermine p(d) à l'aide de la table 10.2[3]
  • on détermine un coefficient K qui vaudra :
    • K=25 jusqu'à la 30e partie du joueur, sinon
    • K=15 en-dessous de 2400, sinon
    • K=10 au-dessus de 2400, et reste à cette valeur ensuite.
  • soit W le résultat contre l'adversaire (W=1, ½ ou 0), le nouveau classement sera :
  • Rn = Ro + K x (W - p(d))

Par exemple, si un joueur classé 2600 gagne contre un joueur classé 2700, son nouveau classement sera : 2600 + 10 x ( 1 - 0,36 ) = 2606,4. Pour la publication, on arrondira à l'entier le plus proche.

Le classement FIDE est mis à jour quatre fois par an, et publié le 1er janvier, 1er avril, 1er juillet et 1er octobre. Si un joueur a moins de quatre parties classées sur une période d'un an, il est considéré comme inactif. Si le classement passe en-dessous de seuil FIDE (1400), il sera retiré de la liste et à nouveau considéré comme un non-classé.

Performance Elo 

On utilise la notion de performance Elo pour caractériser la force d'un joueur dans un tournoi, en fonction de la moyenne des classements Elo des adversaires (Rc) et du résultat contre ceux-ci (p), elle est aussi parfois employée comme système de départage d'un tournoi au système suisse :

  • Rp=Rc + d(p)

Statistiques

En 2008 :

  • Joueur classé 1er le plus de fois : Garry Kasparov (23 fois).
  • Plus jeune joueur classé parmi les 100 premiers : Fabiano Caruana
  • Plus jeune joueur parmi les 10 premiers: Magnus Carlsen 2786 4ème
  • Plus vieux joueur classé parmi les 100 premiers : Viktor Kortchnoï (76 ans - N°85).

Au 1er juillet 2008, seuls 4 joueurs avaient dépassé les 2 800 points : Garry Kasparov (2 851 points), Veselin Topalov (2 813 points), Vladimir Kramnik (2 811 points) et Viswanathan Anand (2 803).

Niveau de jeu en fonction du nombre de points

Ces éléments sont donnés à titre indicatif. Les titres sont attribués par la FIDE en fonction de performances réalisées lors de compétitions et si le prétendant a obtenu un classement Elo requis. Ils sont ensuite acquis à vie et le classement d'un maître peut ensuite être inférieur à ce minimum.

Les numéros un mondiaux

Depuis l'adoption du classement par la FIDE en 1970, seuls six joueurs ont été classés à la première place. Garry Kasparov est le joueur ayant obtenu le plus haut classement et celui étant resté numéro un le plus longtemps[4].

Période Nom Elo max
1970 — janvier 1976 Bobby Fischer 2785
janvier 1976 — janvier 1984 Anatoli Karpov 2725
janvier 1984 — janvier 1996 Garry Kasparov 2815
janvier — avril 1996 Garry Kasparov et Vladimir Kramnik 2775
avril 1996 — avril 2006 Garry Kasparov 2851
avril 2006 — avril 2007 Veselin Topalov 2813
avril 2007 — janvier 2008 Viswanathan Anand 2801
janvier — avril 2008 Viswanathan Anand et Vladimir Kramnik 2799
avril — octobre 2008 Viswanathan Anand 2803
octobre 2008 — juillet 2009 Veselin Topalov 2813

N.B. Le classement Elo maximum indiqué est celui de la période considérée (ce qui ne correspond pas toujours au meilleur classement Elo du joueur).

Classement

Liste des 10 premiers mondiaux au 1er septembre 2009
Rang Ancien
rang
Nom Nation Elo
(variation)
Parties
jouées
Né en
1 1 Veselin Topalov Bulgarie Bulgarie 2813 (0)
0
1975
2 2 Viswanathan Anand Inde Inde 2788 (0)
0
1969
3 4 Levon Aronian Arménie Arménie 2773 (+5)
13
1982
4 3 Magnus Carlsen Norvège Norvège 2772 (0)
10
1990
5 6 Vladimir Kramnik Russie Russie 2772 (+13)
10
1975
6 7 Péter Lékó Hongrie Hongrie 2762 (+3)
23
1979
7 8 Teimour Radjabov Azerbaïdjan Azerbaïdjan 2757 (+1)
10
1987
8 30 Vassili Ivantchouk Ukraine Ukraine 2756 (+53)
42
1969
9 9 Boris Gelfand Israël Israël 2756 (+1)
33
1968
10 10 Aleksandr Morozevitch Russie Russie 2750 (-1)
18
1977

Moyenne Elo 2769,9 (+2,1)

Cette liste est établie tous les 2 mois et les variations concernent la différence avec la liste du 1er juillet 2009.


Source : Top10 Hommes sur fide.com

Références

  1. The Scotsman 2002
  2. Congrès 2000
  3. a  et b Table d(p)
  4. [1] pour la période 1970 — 1997, et le site de la FIDE pour la période 2000 -2009

Voir aussi

  • Portail des échecs Portail des échecs
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