Theoreme des residus


Theoreme des residus

Théorème des résidus

Le théorème des résidus en analyse complexe est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées ; il peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles ainsi que la somme de certaines séries. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy.

Sommaire

Énoncé

Soit U un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe \mathbb C, z1,...,zn un ensemble de points distincts et isolés de U et f est une fonction qui est définie et holomorphe sur U - {z1,...,zn}. Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points singuliers zk et dont le point de départ correspond au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors :

\oint_\gamma f(z) \text{d}z =
2\pi i \sum_{k=1}^n
\operatorname{Res}( f, z_k )\,\mathrm{Ind}_\gamma(z_k).

Ici, Res(f,zk) désigne le résidu de f en zk, et Indγ(zk) l'indice du lacet γ par rapport à zk. Intuitivement, c'est le nombre de tours autour de zk effectués par un point parcourant tout le lacet. Ce nombre de tours est un entier ; il est positif si γ est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct) autour de zk, nul si γ ne se déplace pas du tout autour de zk, et négatif si γ est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre autour de zk.

L'indice est défini par

 \operatorname{Ind}_\gamma(z_k) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\text{d}z}{z-z_k}.

Application au calcul d'intégrales réelles

Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise souvent de la façon suivante : l'intégrande est prolongé en une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe ; ses résidus sont calculés, et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro (lemme de Jordan), quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.

La liste ci-dessous n'est pas exhaustive mais elle permet d'avoir une idée générale de la technique utilisant le théorème des résidus, on aborde :

  • Les intégrales du "premier type" : \int_{0}^{2\pi} R(\cos(t),\sin(t))\mathrm{d}t où R est une fonction rationnelle,
  • Les intégrales du "second type" :  \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x,
  • Les intégrales du "troisième type" :  \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{e}^{iax}\mathrm{d}x,
  • Les intégrales du "quatrième type" : qui aborde les deux cas précédents en considérant la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.

Premier type

Soit le calcul de l'intégrale réelle suivante :

 I = \int_0^{2\pi} R(\cos(t), \sin(t)) dt

avec R une fonction rationnelle ayant un nombre fini de points singuliers zj n'appartenant pas au cercle C(0,1) centré à l'origine et de rayon 1. On obtient par le théorème des résidus :

 I = 2i\pi \sum_{|z_j|<1} \mathrm{Res}(f, z_j)

f est définie comme suit :

 f(z) = \frac{1}{iz} R\left(\frac{z+z^{-1}}{2}, \frac{z-z^{-1}}{2i}\right)



Second type

Figure 1: Illustration du contour γ (en bleu) utilisé dans la démonstration des intégrales du second type. Les singularités (purement complexes) de f appartenant au plan supérieur sont représentées en rouge.

Soit le calcul de l'intégrale réelle suivante :

 I = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx

avec f(z) ayant un ensemble de points singuliers isolés zj purement complexes. Si  \exists M, R >0 et α > 1 tels que  |f(z)| \le {M\over |z|^\alpha} pour tout  |z| \ge R , alors

 \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|dx <+\infty

et

 I = 2i\pi\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}(f, z_j) = -2i\pi\sum_{\Im(z_j)<0}\mathrm{Res}(f, z_j)

Remarque : dans le cas où f est une fonction rationnelle définie par  f(z) = {P(z)\over Q(z)} avec P et Q des polynômes, il suffit d'exiger que  \mathrm{deg}(Q) \ge \mathrm{deg}(P)+2 (où deg représente le degré du polynôme) pour vérifier les hypothèses et appliquer l'identité.



Troisième type

Figure 2: Illustration du contour γ (en bleu) utilisé dans la démonstration des intégrales du troisième type. Les points singuliers (purement complexes) de f appartenant au plan supérieur sont représentés en rouge.

Soit le calcul de l'intégrale réelle suivante :

 I = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{e}^{iax}dx

avec f(z) comportant un ensemble de point singuliers isolés purement complexes. Si  \exists M, R >0 tels que  |f(z)| \le \frac{M}{|z|} pour tout |z|\ge R , alors :

 (\mathrm{si}\,\,a>0),\quad I = 2i\pi \sum_{\Im(z_j)>0} \mathrm{Res}\left(f(z)\mathrm{e}^{iaz}, z_j\right)

et

 (\mathrm{si}\,\,a<0),\quad I = -2i\pi \sum_{\Im(z_j)<0} \mathrm{Res}\left(f(z)\mathrm{e}^{iaz}, z_j\right)



Quatrième type

Figure 3: Illustration du contour γ (en bleu) utilisé dans la démonstration des intégrales du quatrième type. Les singularités (purement complexes) de f appartenant au plan supérieur sont représentées en rouge. En vert ce sont les pôles simples réels.

Les intégrales du second et du troisième type s'étendent aux cas avec un nombre fini n de pôles situés sur l'axe réel. Il s'agit alors d'une intégrale impropre et l'on considère alors la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.

Soit f une fonction holomorphe sur  \mathbb C sauf en un ensemble de pôles simples réels, xj, et de singularités isolées purement complexes, zj. Supposons que l'on se trouve dans un des deux cas suivant :

  •  \exists M, R > 0 et α > 1 tels que  |f(z)| \le {M\over |z|^{\alpha}} pour tout |z|\ge R ,

ou

  • f(z) = g(z)eiaz avec a > 0 et si  \exists M, R > 0 tels que |g(z)| \le {M\over |z|} pour tout |z|\ge R

alors la valeur principale de Cauchy (notée v.p.) de l'intégrale existe et on a :

 \mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum_{\Im(z_j)>0} \mathrm{Res}(f, z_j) + \pi i \sum_{x_j}\mathrm{Res}(f, x_j)

Remarque : on peut aisément étendre la formule au demi-plan inférieur en changeant le signe de la première somme et en considérant uniquement les singularités purement complexe dans ce demi-plan.



Application aux calculs de sommes

Le théorème des résidus permet aussi de calculer certaines sommes infinies. Soit une fonction g ayant pour chaque entier n un résidu égal au n-ème terme général d'une somme infinie S ainsi qu'un ensemble E de résidus correspondant à d'autres points. Supposons que l'intégrale de cette fonction le long d'un lacet γ rectifiable infiniment grand soit nulle. On a alors par le théorème des résidus :

 \int_{\gamma} g(z) \mathrm{d}z = 2i\pi \left[S + \sum_{z_k\in E} \mathrm{Res}(g;z_k)\right] = 0

Par conséquent, on peut exprimer la somme infinie par une autre somme (en général finie) de résidus :

 S = -\sum_{z_k\in E} \mathrm{Res}(g; z_k)

les énoncés ci-dessous donnent des exemples plus généraux de cas pour lesquels cette méthode est applicable :

  • Les sommes du "premier type" :  \sum f(n)
  • Les sommes du "second type" :  \sum (-1)^n f(n)

Premier type

Soit le calcul de la somme suivante :

 S = \sum_{-\infty, n\notin E}^{\infty} f(n)

avec f(z) ayant un ensemble E de singularités isolées. Supposons que la condition suivante soit respectée :

 \exists M, R > 0 et α > 1 tels que |f(z)|\le {M\over |z|^\alpha} pour tout  |z|\ge R

alors, nous avons :

 \sum_{-\infty, n\notin E}^{\infty}|f(n)| < +\infty

et

 \sum_{-\infty, n\notin E}^\infty f(n) = -\sum_{z_k\in E}\mathrm{Res}\left(f(z)\pi\cot(\pi z); z_k\right)



Second type

Soit le calcul de la somme suivante :

 S = \sum_{-\infty, n\notin E}^{\infty} (-1)^n f(n)

avec f(z) ayant un ensemble E de singularités isolées. Supposons que f satisfasse à la même condition que pour les sommes du premier type à savoir :

 \exists M, R > 0, \alpha > 1 tels que |f(z)|\le {M\over|z|^\alpha} pour tout |z|\ge R .

alors, la somme converge absolument et on a :

 \sum_{\infty, n\notin E}^{\infty}(-1)^n f(n) = -\sum_{z_k\in E} \mathrm{Res}\left(f(z)\pi\csc(\pi z); z_k\right)



Voir aussi

Références

  • Murray R. SPIEGEL, Variables Complexes, Schaum, (ISBN 2-7042-0020-3)
  • Serge LANG, "Complex Analysis", 4th edition, Springer, 1999, (ISBN 0-387-98592-1)
  • Joseph BAK, Donald J. NEWMAN, "Complex Analysis", 2nd edition, Springer, 1997, (ISBN 0-387-94756-6)


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