Theoreme des graphes parfaits

Théorème des graphes parfaits

Contexte

Dans le cadre de la théorie des graphes, Claude Berge a introduit en 1960 la notion de graphe parfait comme définissant un graphe pour lequel le nombre chromatique de chaque sous-graphe induit et la taille de la plus grande clique dudit sous-graphe induit sont égaux.

Théorèmes

Il a proposé deux conjectures de caractérisation de ces graphes parfaits, élevées au rang de théorèmes depuis leur démonstration :

• Théorème faible des graphes parfaits :

Un graphe est parfait si et seulement si son complémentaire est parfait.

Cette conjecture a été démontrée en 1972 par László Lovász.

• Théorème fort des graphes parfaits :

Un graphe est parfait si et seulement si ni lui ni son complémentaire ne contiennent de cycle impair induit de longueur au moins cinq.

Cette conjecture a été démontrée en 2002 par Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul D. Seymour et Robin Thomas.

Remarque

Le théorème fort implique trivialement le théorème faible. De fait on parle du « théorème des graphes parfaits » en désignant implicitement le théorème fort.

Intérêt

Depuis la formulation des conjectures jusqu'à la démonstration du théorème fort, l'intérêt pour les graphes parfaits n'a cessé de croitre. Il n'est pas retombé non plus après la publication de la preuve puisque la très grande technicité et la longueur de celle-ci laissent espérer l'existence d'une preuve plus courte et qui renforce la compréhension.

Les deux principales motivations, en dehors de la théorie des graphes, pour l'étude des graphes parfaits sont d'ordres polyédral et algorithmique. Ceci tient notamment à l'existence d'une autre définition équivalente d'un graphe parfait due à (en)Vasek Chvatal^[1] :

Un graphe est parfait si et seulement si son polytope des stables est défini par les contraintes de clique.

Partant de ce résultat, (en)Martin Grötschel, László Lovász et (en)Alexander Schrijver montrent que l'on peut résoudre en temps polynomial le problème de la coloration de graphe^[2], équivalent au problème de la recherche du stable maximum – et aussi au problème de la recherche de la clique maximum, par le théorème faible.

Notes

1. ↑ Vasek Chvatal : On certain polytopes associated with graphs. Journal of Combinatorial Theory B 18 (1975), 138–154.
2. ↑ Martin Grötschel, László Lovász et Alexander Schrijver : Geometric algorithms and combinatorial optimization. Springer-Verlag (1988, 362 pages) (ISBN 0-387-13624-X) et (2^nd corrected edition, 1993) (ISBN 978-0387567402).

Références

• Claude Berge, « Graphes et hypergraphes », Dunod, 2^e édition, 1973 (en particulier, chapitre 16 sur les graphes parfaits) — (ISBN 2-04-016906-7).
• Claude Berge, « Graphes », Gauthier-Villars, 3^e édition, 1983 — (ISBN 2-04-015555-4).
• László Lovász, « Normal hypergraphs and the perfect graph conjecture », Discrete Math. 2, 253-267, 1972.
• Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul D. Seymour et Robin Thomas, « Progress on perfect graphs », Math. Programming Ser. B 97, 405-422, 2003 PDF.

Liens internes

• Théorie des graphes.
• Claude Berge.

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