Theoreme des fermes emboites


Theoreme des fermes emboites

Théorème des fermés emboités

Soit (E,d) un espace métrique que l'on suppose complet. Soit Fn une suite décroissante de fermés non vide de E dont le diamètre tend vers zéro. Le théorème des fermés emboités affirme alors que l'intersection des Fn est réduite à un point.

Lorsque E=\mathbb R et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend donc la forme suivante : soit [an,bn] une suite décroissante de segments de \mathbb R tels que bnan tende vers zéro, alors l'intersection des segments [an,bn] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboités.

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