Theoreme de la limite simple de Baire


Theoreme de la limite simple de Baire

Théorème de la limite simple de Baire

En mathématiques, le théorème de la limite simple de Baire est un surprenant résultat d'analyse sur la continuité d'une limite simple d'une suite de fonctions continues. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français René Baire. C'est une conséquence de la propriété de Baire.

Énoncé

Soit (fn) une suite de fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. Si elle converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels.


Exemple d'utilisation

Si une fonction f:\R\to \R est une dérivée, c'est-à-dire qu'il existe g:\R\to \R dérivable telle que g' = f, alors f est la limite simple de la suite de fonction (gn) définie par

g_n(x) = n\left(g\left(x + \frac{1}{n}\right) - g(x)\right).

On en déduit donc que toute fonction dérivée est continue sur un ensemble dense de réels.

Liens et sources

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