Theoreme de Liouville (Hamiltonien)

Théorème de Liouville (Hamiltonien)

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En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases est constant le long des trajectoires du système, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.

Équation de Liouville

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité ρ dans l'espace des phases. Cette densité de probabilité est définie comme la probabilité pour que l'état du système soit représenté par un point à l'intérieur du volume Γ considéré.

En mécanique classique

On utilise les coordonnées généralisées (q,p)^[1] où N est la dimension du système. La densité de probabilité est définie par la probabilité $\rho(p,q)\,d^Nq\,d^Np$ de rencontrer l'état^[2] du système dans le volume infinitésimal $d^Nq\,d^Np$.

Lorsqu'on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité ρ(p,q), on obtient :

$\frac{d \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_{i}}\dot{p}_{i}\right] = 0$

On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente :

$\dot{q}_i \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_i} \quad ; \qquad \dot{p}_i \ = \ - \frac{\partial H}{\partial q_i}$

d'où :

$\frac{\partial}{\partial t}\rho(p,q,t)=-\{\,\rho(p,q,t) ,H\,\}=\{\,H,\rho(p,q,t)\,\}$

en utilisant les crochets de Poisson.

Démonstration

On considère l'équation de continuité d'un système conservatif :

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0$

or le second terme vaut^[3] :

$\begin{align} f\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right) &= \frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\rho\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i+\rho\frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \\ \ & = \frac{\partial \rho}{\partial q_i}\dot{q_i} + \frac{\partial \rho}{\partial p_i}\dot{p_i} +\rho\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\partial p_i}- \rho\frac{\partial^2 H}{\partial p_i\partial q_i} \end{align}$

On obtient bien :
$\frac{d \rho }{dt}=0$

En mécanique quantique

D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique :

$\frac{1}{i\hbar} [\hat H,\hat A(t)] = \left\{ \hat H,\hat A \right\} + O(\hbar^2)$

d'où on déduit :

$\frac{\partial}{\partial t}\hat \rho=\frac{i}{\hbar}[\hat\rho,\hat H]$

Ici, $\hat H$ est l'opérateur hamiltonien et ρ la matrice densité. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.

Théorème de Liouville

De l'équation de Liouville, on peut prouver le théorème de Liouville, qui peut se formuler comme :

Théorème de Liouville —  La fonction de distribution est constante le long de n'importe quelle trajectoire de l'espace des phases

ou bien :

Théorème de Liouville —  Le volume d'une région de l'espace des phases reste constant lorqu'on suit cette région dans le temps

On peut montrer que le volume Γest constant :

$\frac{d\Gamma}{dt} = 0$

Démonstration

$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint \vec dS.\vec v$

où $\vec v$ est le vecteur vitesse et $\vec S$ un vecteur surface de Γ
et à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski, on trouve

$\frac{d\Gamma}{dt} = \iint \vec dS.\vec v = \iiint d\Gamma \nabla \vec v = 0$

car divergence du vecteur vitesse est nul^[4].

Notes

1. ↑ q = q₁,...,q_N et p = p₁,...,p_N.
2. ↑ Un état est défini par l'ensemble des coordonnées généralisées q_i et q_i.
3. ↑ d'après les équations canoniques de Hamilton.
4. ↑ voir démonstration précédente

Voir aussi

• Mécanique Hamiltionienne
• Espace des phases
• Hypothèse ergodique
• Matrice densité

Bibliographie

• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
• Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]

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