Theoreme de Kronecker

Theoreme de Kronecker

Théorème de Kronecker

Leopold Kronecker

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis.

Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis. Il stipule que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.

Ce théorème doit son nom à Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a démontré la première fois en 1870 dans un article intitulé Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen Monatsber.

Sommaire

Enoncé du théorème

Soit G un groupe abélien fini.

  • Il existe une unique suite (a1,a2,...,ak) d'entiers > 1 telle que G soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite:
G\simeq \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}\;,
et que ai+1 divise ai pour tout i entier entre 1 et k - 1.
  • Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.

Démonstration

Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. Une des méthodes les plus expéditives utilise la théorie des représentation des groupes. La démonstration se trouve au paragraphe représentation de groupe fini commutatif. Il en existe d'autres utilisant par exemple les caractères. La démonstration proposée ici reste dans le cadre strict de la théorie des groupes. Elle se fonde sur une décomposition en somme directe.

La démonstration se fonde sur la construction d'un projecteur φ dont l'image est le groupe cyclique C1 d'ordre θ l'exposant du groupe. Les projecteurs d'un groupe abélien sont étudiés dans le paragraphe Projecteur de l'article Produit direct (groupes).

Soit B une famille génératrice (g1,g2,...,gk) tel que l'ordre de g1 soit égal à θ. Une telle famille existe toujours car le groupe est fini. Il est toujours possible d'adjoindre à cette famille un élément g1 d'ordre θ.

La technique consiste à définir le morphisme sur C1 comme étant égal à l'identité, puis de prolonger ce morphisme sur le groupe engendré par g1 et g2 puis sur le groupe engendré par g1, g2 et g3 jusqu'à gk. La démonstration procède donc par récurrence sur k.


Généralisations

  • Un théorème structurel existe aussi dans le cas où le groupe n'est plus fini mais de type fini.

Références

Liens externes

Références

S. Lang Algebre Dunod 2004
J.F. Labarre La theorie des groupes Presses Universitaires de France (PUF) 1978
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