Theoreme de Hille-Yosida

Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ à l'existence-unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E) $\begin{cases} x'(t) = Ax(t) \\ x(0) = x_0 \end{cases}$.

Semi-groupes

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions

• Soit X un espace de Banach; on dit que la famille d'opérateurs linéaires $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est un semi-groupe (fortement continu) si :

(i) $\forall t\geq 0, ~ S(t)\in\mathcal{L}(X)$

(ii) $S(0) = Id_{\mathcal{L}(X)}$

(iii) $\forall (s,t) \geq 0, ~ S(s+t) = S(s) \circ S(t)$

(iv) $\forall x \in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0^+}S(t)x=x$

La condition (iv) est équivalente à ce que $\forall x\in X, ~ t \mapsto S(t)x ~ \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)$. Si on remplace (iv) par (iv) ^* : $\lim_{t \rightarrow 0^+}||S(t)-Id||_{\mathcal{L}(X)}=0$ on dit que $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des EDO.

• On définit le générateur infinitésimal (A,D(A)) d'un un semi-groupe fortement continu $\left(S(t)\right)_{t \geq 0}$ comme l'opérateur non borné $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ où:

$D(A)=\{ x\in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t} \text{ existe}\}$

$\forall x \in D(A), ~ Ax = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t}$

Dans le cas où D(A) = X et $A \in \mathcal{L}(X)$ la famille d'opérateurs $\left(e^{tA}\right)_{t \geq 0}$ (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal A: c'est pourquoi on note parfois abusivement S(t) = e^tA.

• On dit que le semi-groupe $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est de contraction si $\forall t \geq 0, ~ ||S(t)||_{\mathcal{L}(X)}\leq 1$.

Propriétés des semi-groupes de contraction

• Théorème 1: soit X un espace de Banach, $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ un semi-groupe de contraction sur X et (A,D(A)) son générateur infinitésimal. Alors:

(i) $\forall x \in X$ le flot $t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)$

(ii) $\forall x \in X$ et $\forall t \geq 0$ $S(t)x \in D(A)$, le flot $t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)$ et vérifie x'(t) = Ax(t)

(iii) (A,D(A)) est fermé de domaine dense.

• Théorème 2 (caractérisation des générateurs infinitésimaux): soit $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ un opérateur non borné sur X. On a l'équivalence:

(i) (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

(ii) D(A) est dense et pour toute condition initiale $x_0 \in D(A)$ il existe une unique solution $t \mapsto x(t) \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)$ de (E).

De plus sous cette hypothèse la solution x(t) est à valeurs dans D(A) et vérifie $||x(t)||_X \leq ||x_0||_X$ ainsi que $||x'(t)||_X \leq ||Ax(t)||_X \leq ||Ax_0||_X$ (inégalités d'énergie).

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs

Définitions

• Un opérateur (A,D(A)) est dissipatif si $\forall x\in D(A) \text{ et } \forall \lambda >0, ~ ||x-\lambda Ax|| \geq ||x||$. Dans le cas où X = H est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si $\forall x\in D(A) ~ \mathfrak{Re}(<Ax,x>_H) \leq 0$.

Remarque: Si (A,D(A)) est un opérateur dissipatif alors $\forall \lambda > 0$ l'opérateur (Id − λA) est injectif car $(I-\lambda A)x = 0 \Rightarrow 0 \leq ||x|| \leq ||(I-\lambda A)x||=0 \Rightarrow x= 0$.

• Si de plus $\forall \lambda >0, ~ Id - \lambda A$ est surjectif on dit que (A,D(A)) est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que $\forall \lambda >0, ~ Id - \lambda A ~ \text{surjectif} \Leftrightarrow \exists \lambda_0 ~ tq ~ Id - \lambda_0 A ~ \text{surjectif}$. En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur λ₀ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur (Id − λA) est un isomorphisme (a priori non continu) de L(A,X) et on note J_λ = (Id − λA) ^{− 1}. De plus, comme $||J_{\lambda}y||_X \leq ||(Id-\lambda A)[J_{\lambda}y]||_X \leq ||y||_X$, $J_{\lambda} \in \mathcal{L}\left((X,||.||_X),(D(A),||.||_X)\right)$. Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur (D(A), | | . | | _X) en munissant D(A) d'une norme | | . | | _D(A)).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs

Prop 1: si (A,D(A)) est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1: pour $x \in D(A)$ on pose | | x | | _D(A) = | | x | | _X + | | Ax | | _X. Alors | | . | | _D(A) est une norme pour laquelle D(A) est un espace de Banach et $A \in \mathcal{L}\left((D(A),||.||_A),(X,||.||_X)\right)$.

Prop 2: si H est un espace Hilbertien et $A : D(A) \subset H \longrightarrow H$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Prop 3: réciproquement si $A : D(A) \subset H \longrightarrow H$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint (A ^* ,D(A ^* )) est dissipatif alors (A,D(A)) est m-dissipatif.

Corollaire 3: toujours dans le cadre hilbertien

(i) si (A,D(A)) est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

(ii) si (A,D(A)) est antioadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

Remarque: dans (ii) la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car (A,D(A)) autoadjoint entraîne que < Ax,x > _H = 0 donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida

Enoncé

• Théorème 3 (Hille-Yosida): soit X un espace de Banach et $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ un opérateur non borné. On a l'équivalence

(i) (A,D(A)) est m-dissipatif à domaine dense

(ii) (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

Le point (i) du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante : (i') (A,D(A)), opérateur fermé à domaine dense, vérifie $(0,+\infty) \subset \rho(A)$ et $\forall \lambda > 0 \; \|R_\lambda\| \leq \frac{1}{\lambda}$.

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale $x_0 \in D(A)$ il existe une unique solution forte $t \mapsto x(t)$ dans $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(D(A),||.||_{D(A)})) \bigcap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*},(X,||.||_X))$. Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible $t \mapsto x(t) = S(t)x$ de classe seulement $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(X,||.||_X))$ ( et on montre que toute solution faible est limite dans X de solutions fortes).

Régularité des solutions

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A: il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de "régularité" à x₀ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour $k \geq 2$ $D(A^k)=\{x \in D(A^{k-1}), ~ Ax \in D(A^{k-1})\}$. Alors on a le

Théorème 4: on peut munir les D(A^k) des normes $||x||_{D(A^k)}=\sum_{i=0}^k ||A^ix||$ pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale $x_0 \in D(A^k)$ alors la solution est de classe $\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^{+*},X)$ et $\mathcal{C}^{k-i}(\mathbb{R}^{+*},D(A^i))$ pour i = 1...k et au sens des topologies précédentes.

Exemples

L'équation de la chaleur

On se donne Ω un ouvert borné de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur $\begin{cases} \partial_t u(x,t) - \triangle u(x,t)=0 \\ u(x,0) = u_0(x) \end{cases}$ sur $(x,t)\in \Omega \times [0,+\infty]$ pour une condition initiale donnée. On peut réécrire cette EDP sous la forme d'une EDO y'(t) = Ay(t) en posant X = H = L²(Ω), $y(t)=u(.,t)\in H$ et en définissant (A,D(A)) par $D(A)=H^2(\Omega) \bigcap H^1_0(\Omega) \subset L^2(\Omega)$ et $Ax=\triangle x$ pour tout $x \in D(A)$. Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif. Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint (on a $<Au,v>_H=\int_{\Omega}(\triangle u)v = -\int_{\Omega}\nabla u . \nabla v=\int_{\Omega}u(\triangle v ) = <u,Av>_H$ par double intégration par parties) et que D(A) est dense dans L²(Ω), il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que $\mathfrak{Re}(<Ax,x>_H) \leq 0$. Or tout $x \in D(A)=H^2(\Omega) \bigcap H^1_0(\Omega)$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties $\mathfrak{Re}(<Ax,x>_H)=-\int_{\Omega}||\nabla x||^2_{\mathbb{R}^n} \leq 0$. Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. Remarquer que $\frac{d}{dt}\left(||y(t)||^2_H\right)=2<y'(t),y(t)>_H=2<Ay(t),y(t)>_H \leq 0$: on retrouve bien sur le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine Ω suffisamment régulier (c'est-à-dire $\mathcal{C}^2$ en pratique) et sur un intervalle de temps [0,T) (avec T > 0) selon

$\left\{\begin{array}{rcll}u_{tt}(t,x) -\Delta u(t,x) & = & 0 & (0,T) \times \Omega\\ u(0,x) & = & f(x) & \Omega\\ u_{t}(0,x) & = & g(x) & \Omega \end{array}\right.$

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors $\mathcal{A} = \left(\begin{array}{cc} 0 & I \\ \Delta & 0 \end{array}\right)$, $\mathcal{Y} = \left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array}\right)$ (avec v = u' ) et $\mathcal{Y}_0 = \left(\begin{array}{c} f \\ g \end{array}\right)$ l'équation devient alors $\left\{\begin{array}{rcll} \mathcal{Y}'(t) & = & \mathcal{A}\mathcal{Y}(t) \\ \mathcal{Y}(0) & = & \mathcal{Y}_0 \end{array}\right.$.

Le domaine du Laplacien étant $D(\Delta) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$, celui de $\mathcal{A}$ est $D(\mathcal{A}) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ sur $H = H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$. Les conditions initiales seront alors prises dans H.

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

1. $D(\mathcal{A})$ est dense dans H.
2. $\mathcal{A}$ est fermé.
3. $\mathcal{A}$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve : on utilise la caractérisation (i') du théorème. Soient λ > 0 et $(f,g) \in H$. L'équation résolvante s'écrit en (u,v)

$(*)\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda u - v & = & f \\ \lambda v - \Delta u & = & g \end{array} \right.$ d'où (λ²I − Δ)u = λf + g qui admet une unique solution dans $u \in H^1_0(\Omega)$ via Lax-Milgram (car d'une part λ² > 0 et d'autre part les valeurs propres du Laplacien sont strictement négatives donc (λ²I − Δ) est un opérateur elliptique dont la forme bilinéaire associée vérifie les hypothèses du théorème de Lax-Milgram). Et alors v = λu − f est dans $H_0^1(\Omega)$.

L'estimation de l'opérateur résolvant R_λ vient du produit scalaire de ( * )₂ par v en remplaçant u par sa valeur dans ( * )₁:

$\begin{array}{rcl} \lambda (\|v\|_{L^2(\Omega)} + \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}) & =& ( \nabla f,\nabla u)_{L^2(\Omega)} + (g, v)_{L^2(\Omega)} \\ & \leq & (\|g\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|\nabla f\|_{L^2(\Omega)}^2)^{1/2}(\|v\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}^2)^{1/2}. \end{array}$

D'où, puisque (u,v) = R_λ(f,g), on obtient l'estimation attendue $\|R_\lambda\| \leq \frac{1}{\lambda}$. Le semi-groupe engendré par $\mathcal{A}$ est donc un semi-groupe de contraction.

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