Theoreme de Gauss-Wantzel


Theoreme de Gauss-Wantzel

Théorème de Gauss-Wantzel

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En géométrie, le théorème de Gauss-Wantzel précise la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas.

Théorème de Gauss-Wantzel — Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.

Gauss avait pressenti cette condition nécessaire et suffisante mais n'avait démontré en 1796 qu'une implication : Si un polygone régulier possède n côtés et si n est une puissance de 2 ou est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers différents alors ce polygone est constructible. C'est une analyse sur les polynômes cyclotomiques qui permet la démonstration de cette implication. On y trouve les détails dans l'article associé. Il avait laissé la réciproque sous forme d'une conjecture.

Pierre-Laurent Wantzel dans sa publication de 1837 démontre la réciproque grâce à sa condition nécessaire pour qu'un nombre soit constructible (théorème de Wantzel). C'est la notion de tour d'extension quadratique qui permet d'en apporter la preuve.

Le nombre 5 est de Fermat car il est premier et s'écrit 22 + 1. Ainsi la construction du pentagone régulier est réalisable. Un polygone régulier à 20 côtés est aussi constructible puisqu'il suffit de partir du pentagone régulier et de prendre (deux fois) la bissectrice de chaque angle. Et un polygone de 15 côtés aussi car 15 est le produit de deux nombres de Fermat. Euclide en avait d'ailleurs déjà établi une construction.

Le nombre 17 est de Fermat car il s'écrit 24 + 1 et il est premier. Le polygone régulier à 17 côtés (heptadécagone régulier) est donc aussi constructible et Gauss en a donné une méthode de construction.

En revanche, 7 n'est pas de cette forme, et la construction (à la règle et au compas) de l'heptagone régulier n'est pas possible. 9 = 32 est le carré d'un nombre de Fermat premier, donc l'ennéagone régulier n'est pas constructible non plus (cf Tour d'extension quadratique).

Résultats détaillés

Les cinq nombres de Fermat premiers connus sont :

F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, and F4 = 65537
suite A019434 de l’OEIS.

Ainsi un polygone à n côtés est constructible si :

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ...
suite A003401 de l’OEIS,

Tandis qu'il n'est pas constructible à la règle et au compas si :

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,...
suite A004169 de l’OEIS.

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