Theoreme d'unicite de Stokes

Theoreme d'unicite de Stokes

Théorème d'unicité de Stokes

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Stokes.

Le théorème d'unicité de Stokes, dû à George Stokes, trouve des applications en mécanique des fluides.

Sommaire

Énoncé et démonstration

Ce théorème peut s'énoncer de la manière suivante : étant donnée une surface équipotentielle Σ qui renferme en son intérieur toute la matière, le potentiel extérieur à Σ n'est pas modifié lorsqu'on modifie la répartition des masses de telle façon que Σ reste la même surface équipotentielle. En termes plus mathématiques, ce théorème peut aussi s'énoncer comme suit :

Théorème d'unicité de Stokes — Une fonction V harmonique[1] à l'extérieur d'une équipotentielle Σ est déterminée de façon unique par ses valeurs sur Σ.

La démonstration de cette proposition est aisée. En effet, soit un champ de densité qui donne lieu à un potentiel V, et soit Σ une surface fermée régulière (de normale extérieure unitaire \mathbf n) qui renferme toutes les masses. En élargissant éventuellement le domaine B intérieur à cette surface, on admettra que V est constant sur Σ. Supposons maintenant qu'il existe une distribution de matière différente qui génère un autre potentiel, désigné par V', mais qui prend sur Σ les mêmes valeurs que V. Soit V * = V' − V. Alors, d'après notre hypothèse : V * = 0 sur Σ. Posons u = v = V * dans la première identité de Green, qui peut s'écrire :

\iiint_{B} u \nabla^{2} v\,\mathrm d \tau + \iiint_{B} \nabla u \cdot \nabla v \,\mathrm d \tau = \iint_{\Sigma} u \left(\frac{\mathrm d v}{\mathrm d n}\right) \mathrm d \sigma

On trouve alors

\iiint_B \left[V^{*} \nabla^2 V^* + (\nabla V^*)^2\right]\,\mathrm d \tau = \iint_{\Sigma} V^* \left(\frac{\mathrm d V^*}{\mathrm d n}\right) \mathrm d \sigma

Désignons par CB le complémentaire du volume B intérieur à la surface Σ, autrement dit la région extérieure à Σ. V * étant la différence de deux fonctions harmoniques dans CB est elle-même une fonction harmonique dans CB : \nabla^2 V^* = 0 dans CB. Par conséquent, les conditions de régularité sont satisfaites par V * , et on peut appliquer l'identité précédente à la région B extérieure à Σ, c'est-à-dire à B = CB. En outre, par définition, V * = 0 sur Σ. Pour V * la première identité de Green prend donc la forme :

\iiint_{\complement_B} (\nabla V^*)^2\,\mathrm d \tau,

ou encore

\iiint_{\complement_B} \left[ \left( \frac{\partial V^*}{\partial x_1} \right) ^{2} + \left( \frac{\partial V^*}{\partial x_2} \right)^2 + \left( \frac{\partial V^*}{\partial x_3} \right)^2 \right] \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2 \mathrm{d} x_3 = 0

Cette relation implique nécessairement que

\frac{\partial V^*}{\partial x_1} = \frac{\partial V^*}{\partial x_2} = \frac{\partial V^*}{\partial x_3} = 0

ou encore

V * (x1,x2,x3) = constante


Or, V * étant une fonction harmonique, on doit avoir V^*(\infty) = 0, ce qui entraîne V^*(x_1,x_2,x_3) \equiv 0 dans CB et par conséquent V' \equiv V dans CB. La solution à l'extérieur du domaine B est donc unique.

Intérêt et désavantage

Ce théorème d'unicité du potentiel gravifique extérieur est très important. Il implique à la fois un avantage et un inconvénient. En effet, une fois qu'on a trouvé une solution V de l'équation de Laplace satisfaisant les conditions aux limites, à savoir V = V0 sur l'équipotentielle donnée Σ et V(\infty) = 0, il n'y a plus besoin de chercher plus loin pour trouver une solution plus générale : la solution trouvée constitue la solution unique correspondant à l'équipotentielle Σ : V = V0. Cela constitue indéniablement un avantage. Selon le cas, l'équipotentielle envisagée peut être le géoïde, un ellipsoïde normal, une figure d'équilibre hydrostatique, ou toute autre surface de référence équipotentielle produisant un champ gravifique dans l'espace extérieur.

Par contre, la connaissance du champ extérieur ne permet pas de déduire de manière unique la distribution des masses qui produit l'équipotentielle et le champ extérieur associé. Cela est incontestablement un inconvénient. Il existe en général une infinité de distributions massiques qui donnent lieu au même potentiel extérieur. Cela signifie que le problème inverse de la théorie du potentiel n'a pas de solution unique.

En adoptant le point de vue d'un géophysicien s'occupant de la structure interne de la Terre ou des planètes, le théorème d'unicité de Stokes est appelé, de façon plus appropriée, le théorème de non-unicité de Stokes. La méthode gravimétrique est donc, par essence, d'un intérêt limité pour inférer la loi de densité interne d'un corps cosmique. Néanmoins, combinée à des informations complémentaires obtenues par des méthodes qui ne font pas appel à la géodésie, la gravimétrie s'avère très utile pour déterminer des différences de densité variables avec la profondeur, la latitude et la longitude.

Principe de Dirichlet

D'un point de vue plus mathématique, signalons encore que le théorème de Stokes montre qu'il ne peut y avoir qu'une seule fonction harmonique V qui prend des valeurs données sur une surface-frontière Σ. Il n'établit pas l'existence d'une telle fonction harmonique. L'assertion que pour des valeurs-limites arbitrairement prescrites il existe toujours une fonction harmonique V qui prend sur Σ les valeurs-limites données s'appelle le principe de Dirichlet.

Nous sommes en présence de deux cas distincts : V est harmonique à l'extérieur de Σ et V est harmonique à l'intérieur de Σ. Le principe de Dirichlet a été prouvé dans des situations très générales par des travaux de nombreux mathématiciens, parmi lesquels il convient de mentionner Henri Poincaré et David Hilbert ; la démonstration en est fort difficile. Le problème qui consiste à calculer la fonction harmonique (à l'intérieur ou à l'extérieur de Σ) à partir de ses valeurs-limites sur Σ est le problème de Dirichlet, ou encore le premier problème aux valeurs-limites de la théorie du potentiel. Ce problème se pose notamment en géodésie.

Notes et références

  1. Une fonction harmonique V est une solution quelconque de l'équation de Laplace : \nabla^2 V = 0

Bibliographie

  • W.A. Heiskanen et H. Moritz, Physical Geodesy, W.H. Freeman and Company, San Francisco and London, 1967, xi+364 pages.
  • Portail de la géodésie et de la géophysique Portail de la géodésie et de la géophysique
  • Portail de la physique Portail de la physique
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me d%27unicit%C3%A9 de Stokes ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme d'unicite de Stokes de Wikipédia en français (auteurs)

См. также в других словарях:

  • Théorème d'unicité de stokes — Pour les articles homonymes, voir Stokes. Le théorème d unicité de Stokes, dû à George Stokes, trouve des applications en mécanique des fluides. Sommaire 1 Énoncé et démonstration …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'unicité de Stokes — Pour les articles homonymes, voir Stokes. Le théorème d unicité de Stokes, dû à George Stokes, trouve des applications en mécanique des fluides. Sommaire 1 Énoncé et démonstration 2 …   Wikipédia en Français

  • Géodésie physique (théorème d'unicité de Stokes) — Théorème d unicité de Stokes Pour les articles homonymes, voir Stokes. Le théorème d unicité de Stokes, dû à George Stokes, trouve des applications en mécanique des fluides. Sommaire 1 Énoncé et démonstration …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Chasles — Théorème de Chasles Michel Chasles (1793 1880) Le théorème de Chasles est un théorème de géodésie physique. Considérons une fonction v harmonique à l extérieur d une surface Σ. Admettons en outre que Σ …   Wikipédia en Français

  • Théorème de chasles — Michel Chasles (1793 1880) Le théorème de Chasles est un théorème de géodésie physique. Considérons une fonction v harmonique à l extérieur d une surface Σ. Admettons en outre que Σ …   Wikipédia en Français

  • Stokes — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le nom Stokes peut désigner : John Lort Stokes (1812 1885) , militaire britannique George Gabriel Stokes (1819 1903), mathématicien et physicien… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Chasles —  Ne doit pas être confondu avec Relation de Chasles. Le théorème de Chasles est un théorème de géodésie physique. Considérons une fonction v harmonique à l extérieur d une surface Σ. Admettons en outre que Σ soit une surface équipotentielle …   Wikipédia en Français

  • Theoreme isoperimetrique — Théorème isopérimétrique En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d une question concernant les compacts d un espace métrique muni d une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d un plan euclidien. Les compacts concernés sont …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Helmholtz-Hodge — Théorème de Helmholtz Hodge Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français

  • Théorème de helmholtz-hodge — Articles d analyse vectorielle …   Wikipédia en Français


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»