Tetraedre


Tetraedre

Tétraèdre

Tétraèdre
Tétraèdre
Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
4
6
4
2
Faces par sommet 3
Sommets par face 3
Isométries
Dual Tétraèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.

Le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux, fait partie des cinq polyèdres réguliers, ou solides de Platon. La tétraèdre est le solide unique avec quatre faces.

Tétraèdre orthocentrique : un tétraèdre qui a ses 4 hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.

Le tétraèdre est un simplexe de degré 3.

Le volume d'un tétraèdre est égal à \scriptstyle V={}^1\!/\!_3 Bh si B est la surface d'une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base.

Coordonnées cartésiennes du tétraèdre régulier

Les coordonnées cartésiennes du tétraèdre régulier sont :

(1, 1, 1)
(-1, -1, 1)
(-1, 1, -1)
(1, -1, -1)

La longueur des arêtes est, ici, de 2/√2.

Compound of two tetrahedra.png

L'octaèdre étoilé peut être vu comme un tétraèdre régulier imbriqué avec deux sommets alternés du cube.

La bimédiane, c'est-à-dire, ici la hauteur, est le segment qui joint les centres des deux arêtes de longueur a, opposées et perpendiculaires, de longueur a/√2.

Tétraèdre régulier

Si a est la longueur d'une arête :

  • La surface est égale à : A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2
  • La hauteur est égale à : H={\scriptstyle\sqrt{\frac23}} a
  • Le centre du tétraèdre est situé, par rapport à la base, à : h=\tfrac14 H
  • Le volume est égal : V=\tfrac{1}{12}\sqrt{2}a^3
  • La valeur de l'angle central du tétraèdre régulier (c’est-à-dire celui que forment tous les segments qui partent du centre vers les quatre sommets) est de  \arccos(-1/3)\, (approx. 109.471°).
Dualité du tétraèdre régulier

Le tétraèdre est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres des faces d'un tétraèdre régulier, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique \mathfrak{S}_4. Le groupe des isométries positives ayant cette même propriété est quant à lui isomorphe au groupe alterné \mathfrak{A}_4. Une démonstration est proposée dans l'article Groupe alterné.

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