Tenseur métrique

En géométrie et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice, généralement notée G. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

Définition

Le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur un espace vectoriel E de dimension finie:

$\begin{align} g : &E\times E &\to &\ \R \\ &(u,v) &\to &\ g(u,v) \end{align}$

g est :

• symétrique : $\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in E \quad g(\mathbf{v},\mathbf{u}) = g(\mathbf{u},\mathbf{v})$
• non dégénérée : $\left[\forall \mathbf{v} \in E, g(\mathbf{u},\mathbf{v})=0 \right] \Rightarrow \mathbf{u}=0$
• définie positive: $\forall x \in E \quad g(x,x) \ge 0$ (exception pour les pseudo-métriques, voir ci-dessous)

On note le produit scalaire de 2 vecteurs uⁱe_i et v^je_j de la manière suivante:

$g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = g(u^i \mathbf{e_i}, v^j \mathbf{e_j}) = u^i v^j g(\mathbf{e_i}, \mathbf{e_j}) = u^i v^j g_{ij}$

La notation g_ij est conventionnellement utilisée pour les composantes du tenseur métrique.

Pseudo-métrique

Lorsque g(x,x) n'est pas toujours positif, on peut parler de pseudo-métrique, c'est par exemple le cas de l'espace de Minkowski. Dans ce cadre^[1], le produit scalaire g(x,x) (que l'on note η(x,x)) représente la pseudo-norme au carré. On note s la distance minkowskienne entre deux points P₁ et P₂ définie par:

$s^2=\eta\bigl(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_2}\bigr) = \eta_{\mu\nu}(x_2^\mu-x^\mu_1)(x_2^\nu-x_1^\nu)$

avec, pour l'espace de Minkowski, comme matrice du produit scalaire^[2] :

$(\eta_{\mu\nu})= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

et ds² la distance minkowskienne au carré entre deux points infiniment voisins :

$\mathrm ds^2=\eta_{\mu\nu}\,\mathrm dx^\mu\,\mathrm dx^\nu$

Pour un vecteur x d'un tel espace, nous avons les définitions suivantes^[3] :

$\begin{cases} \eta(x,x)>0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ orient\acute e\ dans\ l'espace.}\\ \eta(x,x)=0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ isotrope.}\\ \eta(x,x)<0 &\iff\ x\ \mathrm{est\ orient\acute{e}\ dans\ le\ temps.}\\ \end{cases}$

Une courbe de cet espace-temps décrite par l'équation (x⁰(τ),x¹(τ),x²(τ),x³(τ)) où τ est un paramètre, admet comme vecteur tangent dx^μ / dτ. Le signe de la pseudo-norme de ce vecteur est idépendant du choix de τ et nous avons les définitions suivantes (cf. relativité restreinte) :

$\begin{cases} \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})>0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \text{est du genre espace.}\\ \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})=0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \mathrm{est\ du\ genre\ lumi\grave{e}re.}\\ \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})<0&\iff\ \text{La courbe}\ x^{\mu}(\tau)\ \text{est du genre temps.} \end{cases}$

Coordonnées rectilignes

Nous supposons ici une base quelconque, $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$, Le tenseur métrique se calcule alors simplement ^[4]:

$G = \begin{bmatrix} \vec{a}.\vec{a} & \vec{a}.\vec{b} & \vec{a}.\vec{c} \\ \vec{b}.\vec{a} & \vec{b}.\vec{b} & \vec{b}.\vec{c} \\ \vec{c}.\vec{a} & \vec{c}.\vec{b} & \vec{c}.\vec{c} \end{bmatrix}$

où $\vec{a}.\vec{b}$ désigne le produit scalaire de $\vec{a}$ et de $\vec{b}$ exprimé dans un repère orthonormé cartésien.

Cas des coordonnées curvilignes

Coordonnées curvilignes

Lorsqu'il s'agit d'un système de coordonnées curvilignes^[5], nous ne pouvons pas définir de base à ce repère à proprement parler. Les vecteurs de cette base e_i varient en fonction des coordonnées xⁱ d'un point. Il n'est donc pas possible de calculer un tenseur métrique constant. Cependant la matrice jacobienne J fournit une approximation linéaire de ce type de transformation au voisinage d'un point, la base locale, (e₁,e₂), étant simplement les vecteurs tangents aux axes de coordonnées. Il suffit donc de calculer les n² produits scalaires possibles de ces vecteurs tangents (composantes contravariantes de la jacobienne) pour obtenir le tenseur métrique G. Ceci revient à calculer J^TJ.

G devient alors un champ tensoriel. Le « champ de base » ainsi utilisé repère des vecteurs infinitésimaux, ceci se traduisant par un « produit scalaire infinitésimal ». On adopte alors l'écriture suivante: ds² = g_ijdxⁱdx^j (où ds désigne la variation de la norme et non pas celle du produit scalaire comme on pourrait le penser). La quantité s est aussi appelé abscisse curviligne.

Détails de calcul

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel g_ij = δ_ij (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer la matrice jacobienne de ces équations. Le tenseur métrique est le produit de sa transposée par elle-même:

$G = J^T\;J$

En appliquant la même opération à partir des équations donnant la relation entre l'espace cartésien et l'espace considéré, on obtient alors l'expression contravariante du tenseur. On peut alors retrouver son expression covariante en sachant que $g^{\mu \nu}\cdot g_{\nu \rho}= \delta^{\mu}_{\rho}$, où g^μν est l'expression contravariante du tenseur, et g_νρ son expression covariante.

Montée et descente d'indices

Le tenseur métrique sert à monter ou à descendre les indices des coordonnées de vecteurs / formes différentielles / tenseurs. Prenons le cas du vecteur $\mathbf {x} = x^\alpha \mathbf {e_\alpha}$. Les produits $x_{\beta}= g_{\alpha \beta} x^\alpha\$ correspondent à la forme linéaire $g(\mathbf {x}, .)$, un élément de l'espace dual, qui à un vecteur $\mathbf{y}$ associe le réel $g(\mathbf {x}, \mathbf {y})$. Ils la définissent à travers ses coordonnées dans la base duale: $g(\mathbf {x}, .)=x_{\beta} \mathbf {e^{\beta}}$ où $\mathbf {e^{\beta}}=\mathbf {e^{\star}_\beta}$ désignent les vecteurs de la base duale. Autrement dit le tenseur métrique a abaissé la position des indices de x^α en x_β transformant le vecteur $x^\alpha\mathbf {e_\alpha}$ en le covecteur $x_\beta \mathbf {e^{\beta}}$.

Distances et angles

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est définie par :

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij} \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt}}\mathrm dt$

où (x¹(t),...,xⁿ(t)) est l'équation décrivant cette courbe dans le système de coordonnées local.

On l'écrit souvent avec la notation :

$\mathrm ds^2 = g_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx^j$.

L'angle θ entre deux vecteurs tangents u et v est défini par :

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}$

Note: En coordonnées rectilignes, les vecteurs ne sont pas nécessairement tangents.

Changement de base

Lors d'un changement de base, le tenseur métrique se transforme de la manière suivante ( M est la matrice de passage d'une base dont on connait la métrique g vers une autre base ):

$g'_{kl} = M^i_{\ k} M^j_{\ l}\ g_{ij}$

ou en notation matricielle:

$G' = M^TGM~$

Produit avec sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :

g^ijg_ij,k = − g_ijg^ij,k.

Démonstration

La matrice g^ij est l'inverse de la matrice du tenseur métrique g_ij :

$g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k$. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{ij} g_{ji} = \delta^i_i$. Or la contraction $\delta^i_i$ du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi g^ijdg_ij = − g_ijdg^ij. D'où l'expression cherchée.

• Si g_ij,k était un tenseur, on aurait le signe +.
• On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante g_ij;k du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

Quelques exemples

Exemple 1

Dans un espace euclidien à 2 dimensions, et en prenant un repère cartésien orthonormé, le tenseur métrique est :

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

et la longueur d'une courbe vaut :

$L = \int_a^b \sqrt{ (\mathrm dx^1)^2 + (\mathrm dx^2)^2}$

Exemple 2

On se propose de calculer le tenseur métrique pour un espace euclidien et le système de coordonnées sphériques. Les équations suivantes nous donnent les coordonnées (x,y,z) exprimées dans un repère orthonormé cartésien en fonction des coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) (voir ci-dessous).

$\begin{cases} x=r\sin\theta \cos\phi \\ y=r\sin\theta \sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases}$

On peut maintenant écrire la matrice jacobienne :

$\quad J = \begin{bmatrix} \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r\cos\theta \cos\phi & -r\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r\cos\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{bmatrix}$

Le tenseur métrique est le produit de la matrice jacobienne transposée et de la jacobienne :

$g_{ij} = J^T\,J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{bmatrix}$

Détails

$g_{ij} = J^T\,J = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & \sin\theta \sin\phi & \cos\theta \\ r\cos\theta \cos\phi & r\cos\theta \sin\phi & -r\sin\theta \\ -r\sin\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r\cos\theta \cos\phi & -r\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r\cos\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{bmatrix}$ $\begin{align} g_{11} &= \sin^2\theta \cos^2\phi + \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta = \sin^2\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) + \cos^2\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\ g_{21}&= r\cos\theta \sin\theta \cos^2\phi + r\cos\theta \sin\theta \sin^2\phi - r\cos\theta \sin\theta = r\cos\theta \sin\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) - r\cos\theta \sin\theta \\ &= r\cos\theta \sin\theta - r\cos\theta \sin\theta = 0 \\ g_{31}&= -r\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi + r\cos\phi \sin^2\theta \sin\phi + 0 = 0 \\ g_{12} &= r\sin\theta \cos\theta \cos^2\phi + r\sin\theta \cos\theta \sin^2\phi -r \sin\theta \cos\theta = r\sin\theta \cos\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) -r \sin\theta \cos\theta \\ &= r\sin\theta \cos\theta -r\sin\theta \cos\theta = 0 \\ g_{22}&= r^2\cos^2\theta \cos^2\phi + r^2\cos^2\theta \sin^2\phi + r^2\sin^2\theta = r^2\cos^2\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) + r^2\sin^2\theta \\ &= r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2 \\ g_{32}&= -r\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi +r\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{13} &= -r\sin^2\theta \cos\phi \sin\phi + r\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{23} &= -r^2\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + r^2\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{33} &= r^2\sin^2\theta \sin^2\phi + r^2\sin^2\theta \cos^2\phi + 0 = r^2\sin^2\theta ( \sin^2\phi + \cos^2\phi ) = r^2\sin^2\theta \end{align}$

Exemples de métriques

Coordonnées polaires

Plan euclidien, coordonnées polaires : (x¹,x²) = (r,θ)

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}$
$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2~$

Espace euclidien, coordonnées cylindriques : (x¹,x²,x³) = (r,θ,z)

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + \mathrm dz^2~$

Coordonnées sphériques

Espace euclidien, coordonnées sphériques : (x¹,x²,x³) = (r,θ,ϕ)

$G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end{bmatrix}$

$\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + r^2\sin^2\theta \mathrm d\phi^2~$

Espace de Minkowski, espace-temps plat (relativité restreinte) : (x⁰,x¹,x²,x³) = (ct,x,y,z)

$G = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2~$

Métrique de Schwarzschild (solution particulière de la relativité générale, l'espace est ici courbé) : (x⁰,x¹,x²,x³) = (ct,r,θ,φ)

$G = \begin{bmatrix} -(1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
$\mathrm ds^2=-\left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)c^2\mathrm dt^2 + \left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)^{-1}\mathrm dr^2+r^2\mathrm d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm d \phi^2$

Référence

1. ↑ Cours de relativité générale, p10-15, Bernard LINET, Laboratoire de Mathématiques et Physique théorique, Université François Rabelais, Tours
2. ↑ En prenant la signature (-1;1;1;1), certains auteurs préfèrent la signature (1;-1;-1;-1)
3. ↑ Ici pour la signature (-1;1;1;1), pour la signature (1;-1;-1;-1), les définitions orienté espace et orienté temps doivent être permutées, et de même pour les genres.
4. ↑ (en)Online Dictionary of Crystallography
5. ↑ (en)Mathemathics for Physics and Physicists, p455-459, Walter APPEL

Voir aussi

• Transformation contraco
• Intervalle d'espace-temps

Bibliographie

• Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique, Dunod, 2007 (ISBN 978-2-10-050552-4)