Séries de bell

Séries de Bell

En analyse, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions multiplicatives. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell de f modulo p :

$f_p(X)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n$

Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si et seulement si pour tout entier premier p l'on a :

f_p(X) = g_p(X)

Pour deux fonctions multiplicatives f et g,

f_p(X)g_p(X) = h_p(X)

où h est la convoluée de f et de g.

Lorsque f est complètement multiplicative, alors :

$f_p(X)=\frac{1}{1-f(p)X}$

Exemples

Les séries de Bell suivantes sont des fonctions arithmétiques bien connues :

• La fonction de Möbius μ : μ_p(X) = 1 − X
• La fonction identité I : I_p(X) = 1
• La fonction de Liouville λ : $\lambda_p(X)=\frac{1}{1+X}$
• La fonction diviseur σ_k : $\sigma_k|_p(X)=\frac{1}{1-\sigma_k(p)X+p^kX^2}$

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