Symbole de pochhammer

Symbole de Pochhammer

En mathématiques, le symbole de Pochhammer

$(x)_n\,$

est utilisé en théorie des fonctions spéciales pour représenter la factorielle croissante

$(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$

et est parfois utilisée en combinatoire pour représenter la factorielle décroissante

$(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).$

Le produit vide (x)₀ est défini comme étant égal à un dans les deux cas.

La factorielle décroissante apparaît dans une formule, qui représente les polynômes en utilisant l'opérateur de différence Δ, qui est similaire à la formule de Taylor en analyse. Dans cette formule, la factorielle décroissante (x)_k dans le calcul des différences finies joue le rôle de x^k en calcul différentiel. Remarquons par exemple la similitude entre

$\Delta ((x)_k ) = k \cdot(x)_{(k-1)}$

et

$D (x^k) = k \cdot x^{k-1}$

(où D désigne l'opérateur de dérivation des polynômes).

La notation fut introduite par Leo August Pochhammer.

D'autres notations utilisées par Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik dans leur livre Concrete Mathematics remplacent celles de Pochhammer.

$x^{\overline{n}}$

désigne la factorielle croissante et

$x^{\underline{n}}$

la factorielle décroissante.

Documents externes

• Symbole de Pochhammer sur Wolfram

Ce document provient de « Symbole de Pochhammer ».