Symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Charles Gustave Jacob Jacobi.

Définition

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre du dessous. Sa définition est la suivante :

Soit n un entier impair supérieur à 2 et n = $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ la décomposition de n en facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, le symbole de Jacobi $\left(\frac{a}{n}\right)$ vaut : $\left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}$

Propriétés du symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi possède de très nombreuses propriétés :

1. Si n est premier, le symbole de Jacobi et le symbole de Legendre sont égaux,
2. $\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$
3. $\left(\frac{a}{n}\right) = 0$ si et seulement si a et n ne sont pas premiers entre eux,
4. $\left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$ si n est impair.
5. si a ≡ b (mod n) alors $\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)$ si n est impair.
6. $\left(\frac{1}{n}\right) = 1$
7. $\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}\right)}$ vaut 1 si n ≡ 1 (mod 4) et −1 si n ≡ 3 (mod 4)
8. $\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)}$ vaut 1 si n ≡ 1 (mod 8) ou n ≡ 7 (mod 8) et −1 si n ≡ 3 (mod 8) ou n ≡ 5 (mod 8)
9. $\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\left(\frac{m-1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}\right)}$ si m et n sont impairs, autrement dit $\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)$ sauf si m et n sont tous deux congrus à -1 (mod 4) auquel cas $\left(\frac{m}{n}\right) = -\left(\frac{n}{m}\right)$

La dernière propriété est une généralisation de la loi de réciprocité quadratique utilisant le symbole de Legendre.

Résidus

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi. Cependant, si $\left(\frac{a}{n}\right) = -1$ alors a n'est pas un résidu quadratique de n puisque a n'est pas le résidu quadratique d'un des p_k divisant n.

Dans le cas où $\left(\frac{a}{n}\right) = 1$, il est impossible de dire si a est un résidu quadratique de n. Puisque le symbole de Jacobi est un produit de symboles de Legendre, il y a des cas où deux symboles de Legendre sont égaux à −1 et le symbole de Jacobi est égal à 1.

Lien externe

(en) Calcul du symbole de Jacobi