Surface de révolution

Une surface de révolution est une surface paramétrée et orientée de ℝ³, la surface balayée par la rotation d'une courbe plane, appelée méridienne. Les surfaces de révolution comprennent les tores, les sphères, les cylindres, les sphéroïdes, les hyperboloïdes, ovoïdes, ellipsoïdes, ...

Paramétrage

Soit une courbe c(s) = (x(s),y(s),z(s)) tracée dans ℝ³ sans point d'inflexion et paramétrée par longueur d'arc. La rotation d'axe Oz engendre une surface paramétrée :

$X(s,\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(s)\\ y(s)\\ z(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(s)\cos\theta-y(s)\sin\theta\\ x(s)\sin \theta+y(s)\cos\theta\\ z(s) \end{pmatrix}$

Exemples

Un hyperboloïde

• L'exemple le plus simple d'une courbe tracée dans l'espace est celui de la droite affine $c:s\mapsto c(0)+s\cdot V$ où V est un vecteur unitaire (paramétrage par longueur d'arc).
  • Si V est orthogonal à $\vec{z}$, la surface obtenue est une portion du plan passant par c(0) et parallèle au plan (xOy).
  • Si V n'est pas orthogonal à $\vec{z}$, mais que $\vec{Oc(0)}$, $\vec{V}$ et $\vec{z}$ sont des vecteurs coplanaires, alors la surface engendrée est un cône de révolution d'axe $\vec{z}$ et de demi-angle au sommet $\arccos( \vec{V}, \vec{z} )$.
  • Dans les autres cas, la surface obtenue est une surface réglée non dégénérée, à savoir un hyperboloïde d'axe de révolution $\vec{z}$:

Démonstration

Pour l'établir, prenons sans perte de généralité (quitte à changer de base et à prendre des vecteurs non normés, en prenant comme point d'origine de la droite le point appartenant à la perpendiculaire commune de (Oz) et de D):

$\vec{c(0)}=(1,0,0)$ et $\vec{V}=(0,a,b)$ où a² + b² = 1.

Un paramétrage admissible de la droite est: $\vec{OM(t)}=\vec{Oc(0)}+t.\vec{V}$.

Un paramétrage de la surface engendrée par la rotation de la droite autour de l'axe (Oz) est : $\vec{OM(t,\theta)}=\begin{pmatrix} \cos\theta-a.t\sin\theta\\ \sin \theta+a.t\cos\theta\\ b.t \end{pmatrix}$

On vérifie alors que la surface a pour équation: $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$

 

• De nombreux autres exemples se rencontrent en mathématiques, pour lesquels plusieurs paramétrages sont possibles, sans qu'un des paramètres ne soit nécessairement la longueur d'arc :
  • La sphère de centre 0 et de rayon R est la surface obtenue par rotation autour de l'axe des ordonnées d'un cercle de centre 0 et de rayon R tracé dans un plan vertical. Un paramétrage de la sphère est :

  $X(\alpha,\theta)=\begin{pmatrix} R\cos \alpha\cdot\cos\theta\\ R\cos \alpha\cdot\sin \theta\\ R\sin \alpha \end{pmatrix}$

  • 

    Tore
    Le tore est la surface obtenue par rotation autour de l'axe des ordonnées d'un cercle n'intersectant pas l'axe des ordonnées. Un paramétrage du tore est :

  $X(\alpha,\theta)=\begin{pmatrix} \left(R+r\cos \alpha\right)\cdot\cos\theta\\ \left(R+r\cos \alpha\right)\cdot\sin \theta\\ r\sin \alpha \end{pmatrix}$

  où donc r < R

  • La trompette de Gabriel est obtenue par rotation d'une portion d'hyperbole autour de son asymptote. Un paramétrage de la trompette est :

  $X(r,\theta)=\begin{pmatrix} r\cos\theta\\ r\sin \theta\\ \dfrac 1r \end{pmatrix}$

où $r\in ]0,1]$.

Pièces d'échec

• Dans la vie de tous les jours aussi, beaucoup d'objets de fabrication humaine présentent des surfaces de révolution. La raison étant que la symétrie de révolution en facilite la fabrication ou l'usage. Parfois, il ne s'agit que d'une simple recherche artistique, une volonté de "perfection".
  • Les bifaces sont les premiers outils montrant cette recherche d'une plus grande maniabilité.
  • Un grand nombre de stylos sont des surfaces de révolution (mais les formes varient d'une marque à l'autre).
  • Les verres, quelle que soit leurs formes, sont des surfaces de révolution.
  • Les quilles de bowling ou de jonglage
  • Dans le style Staunton, parmi les pièces d'échec, les pions sont les seules pièces qui soient des surfaces de révolution (en premier plan à droite sur l'illustration). Cependant, le pied de toutes les pièces est une surface de révolution.
  • Etc, etc, ...

Propriétés métriques

Les propriétés métriques d'une surface de révolution obtenue par rotation d'un arc différentiable c sans point d'inflexion et paramétré par longueur d'arc sont résumés dans le tableau suivant :

Propriété métrique	Résultat
Première forme fondamentale	$\mathrm{d}X^2=\mathrm{d}s^2+r(s)^2\mathrm{d}\theta^2~$ avec $r(s)=\sqrt{x(s)^2+y(s)^2}$
Forme d'aire	$\omega=r(s)\cdot \mathrm{d}s\wedge \mathrm{d}\theta$
Seconde forme fondamentale	$\Bigl(z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr)\Bigr)\cdot \mathrm{d}s^2+r(s)z'(s)\cdot \mathrm{d}\theta^2$
Courbures principales	$z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr)$ et $\frac{z'(s)}{r(s)}$

Détail des calculs

On dispose du paramétrage suivant :

$X(s,\theta)=\begin{pmatrix} x(s)\cos\theta-y(s)\sin \theta\\ x(s)\sin \theta+y(s)\cos\theta\\ z(s) \end{pmatrix}=x(s)\cdot u + y(s)\cdot v + z(s)\cdot k$

en notant (u,v,k) la base mobile des coordonnées cylindriques.

Le calcul des dérivées premières est nécessaire pour exprimer la première forme fondamentale :

$\frac{\partial X}{\partial s} =x'(s) \cdot u + y'(s)\cdot v + z'(s)\cdot k$ et $\frac{\partial X}{\partial \theta} =x(s) \cdot v - y(s)\cdot u$

Comme c est paramétrée par longueur d'arc, la première forme fondamentale s'écrit :

$\mathrm{d}X^2=\bigl(x'(s)^2+y'(s)^2+z'(s)^2\bigr)\cdot \mathrm{d}s^2+\bigl(y'(s)x(s)-x'(s)y(s)\bigr)\cdot \mathrm{d}s\cdot \mathrm{d}\theta+\bigl(x(s)^2+y(s)^2\bigr)\cdot \mathrm{d}\theta^2$

Soit finalement

dX² = ds² + r(s)²dθ² avec $r(s)=\sqrt{x(s)^2+y(s)^2}$.

Or, il vient :

$\frac{\partial X}{\partial s}\wedge\frac{\partial X}{\partial \theta}=-z'(s)x(s)\cdot u-z'(s)y(s)\cdot v +\bigl(x(s)x'(s)+y(s)y'(s)\bigr)\cdot k$

La base mobile est orthonormale, la norme est donc donnée par :

$\left\|\frac{\partial X}{\partial s}\wedge\frac{\partial X}{\partial \theta}\right\|^2=\bigl(x(s)^2+y(s)^2\bigr)\cdot z'(s)^2+ \bigl(x(s)x'(s)+y(s)y'(s)\bigr)^2=r(s)^2\cdot \bigl(z'(s)^2+r'(s)^2\bigr)=r(s)^2$

La forme volume de X s'écrit alors :

$\omega=r(s)\cdot \mathrm{d}s\wedge \mathrm{d}\theta$

Le calcul de la seconde forme fondamentale requiert la connaissance du vecteur unitaire normal et des dérivées partielles secondes :

$\frac{\partial^2 X}{\partial s^2}= x''(s)\cdot u+y''(s)\cdot v+ z''(s)\cdot k$

$\frac{\partial^2 X}{\partial \theta^2}=-x(s)\cdot u-y(s)\cdot v$

$\frac{\partial^2 X}{\partial s\partial\theta}=x'(s)\cdot v-y'(s)\cdot u$

La seconde forme fondamentale s'écrit alors :

$\Bigl(z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr)\Bigr)\cdot \mathrm{d}s^2+r(s)z'(s)\cdot \mathrm{d}\theta^2$

Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme symétrique :

$S=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & r(s)^2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr) & 0\\ 0 & r(s)z'(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr) & 0\\ 0 & z'(s)/r(s) \end{pmatrix}$

Donc, trivialement (!), les courbures principales sont :

$z''(s)\cdot r'(s)-z'(s)\cdot \bigl(x(s)x''(s)+y(s)y''(s)\bigr)$ et $\frac{z'(s)}{r(s)}$