Suite arithmetico-geometrique

Suite arithmético-géométrique

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite mélangeant les concepts de suite arithmétique et de suite géométrique.

Définition

On se place dans un corps K quelconque, par exemple $\R$ (corps des réels) ou $\mathbb C$ (corps des complexes). Soient $a,b \in K$ et soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeur dans K. On dit que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est une suite arithmético-géométrique si et seulement si elle vérifie la relation de récurrence suivante au delà d'un certain rang n₀:

$\forall n\geq n_0,\ u_{n+1}=a u_n+b$

Terme général

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique.

Méthode classique

Dans le cas où $a \ne 1$, on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique : On pose

v_n = u_n + c

avec $c \in K$, puis on démontre que (v_n) est géométrique de raison a si et seulement si

$c = -\frac{b}{1-a}$

On trouve alors que

$v_n = v_{n_0}a^{n-n_0}$

Puis, grâce aux relations entre u_n et v_n, on obtient

$u_n = a^{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r$

en posant

$r =\frac{b}{1-a}$

On peut remarquer que la valeur r est la seule valeur de $u_{n_0}$ pour laquelle la suite est constante.

Méthode utilisant une série géométrique

Une autre méthode, dans le cas où n₀ = 0 consiste à voir la suite (u_n) comme la somme des terme d'une suite géométrique.

On remarque que

u₁ = au₀ + b

u₂ = a²u₀ + ab + b

u₃ = a³u₀ + a²b + ab + b

Le terme général est donc (résultat obtenu par récurrence):

$u_{n}=a^{n}u_{0}+ \sum_{i=0}^{n-1}a^{i}b$.

Avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, on obtient le terme général suivant:

$u_{n}=a^{n}u_{0} + b\dfrac{1-a^{n}}{1-a} = a^{n}\left(u_{0}-\dfrac{b}{1-a}\right)+\dfrac{b}{1-a}$

En posant

$r=\dfrac{b}{1-a}$

on trouve

u_n = aⁿ(u₀ − r) + r

On obtient bien le même résultat que dans la section précédente, dans le cas n₀ = 0.

Somme des premiers termes

Dans le cas où n₀ = 0, on a la formule suivante (que l'on peut démontrer par récurrence):

$\sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} + nr\,$.

toujours en posant

$r=\frac{b}{1-a}$

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de

$u_{n_0} - \frac{b}{1-a}$

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où | a | < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est

$\frac{b}{1-a}$

quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

La suite arihmético-géométrique se rencontre dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle) : apport de 10 et fuite de 5%, $u_{n+1} = u_n+ 10 - \frac{5}{100} \times u_n$

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si R_n représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite $(R_n)\,$ est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : R_{n + 1} = (1 + t)R_n − M

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors

$\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

De la relation

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n) \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

On déduit que :

$p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,$.

Comme d'autre part,

$q_n = 1-p_n\,$,

en remplaçant on obtient

$p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,$

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