Sphère de riemann

Sphère de Riemann

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En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à ce que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Elle est baptisée du nom du mathématicien du XIX^e siècle Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté $\mathbb P^1(\mathbb C)$.

Introduction

D'un point de vue purement algébrique, les nombres complexes avec un élément supplémentaire à l'infini constituent un ensemble de nombres connu sous le nom de nombres complexes prolongés. L'arithmétique de cet ensemble n'obéit pas à toutes les règles habituelles de l'algèbre ; notamment les nombres complexes prolongés ne forment pas un corps. En revanche, la sphère de Riemann a un comportement géométriquement et analytiquement non divergent, même au voisinage de l'infini ; c'est une variété complexe unidimensionnelle, également appelée une surface de Riemann.

En analyse complexe, la sphère de Riemann permet une expression élégante de la théorie des fonctions méromorphes. La sphère de Riemann est omniprésente en géométrie projective et en géométrie algébrique comme exemple fondamental d'une variété complexe, d'un espace projectif, et d'une variété algébrique. Elle a également une utilité dans d'autres disciplines qui dépendent de l'analyse et de la géométrie, telle que la physique quantique (représentation des états quantiques) et d'autres branches de la physique (théorie des twisteurs par exemple).

Projection stéréographique d'un point A du plan complexe sur le point α de la sphère de Riemann. Idem pour un point B dont le module est inférieur à 1.

La projection stéréographique, par exemple sur le plan équatorial à partir du pôle Nord, permet de voir que la sphère privée d'un point est homéomorphe au plan. Inversement, on passe du plan à la sphère en ajoutant un point à l'infini, noté $\infty\,$. Mais le plan $\mathbb{R}^2\,$ peut s'identifier à $\mathbb C\,$.

La sphère de Riemann, c'est la sphère usuelle envisagée de ce point de vue, autrement dit la droite projective complexe.

Remarque

Plus généralement, l'espace $\mathbb{R}^n\,$ est homéomorphe à la sphère $S^n\,$ (sphère unité de l'espace euclidien $\mathbb{R}^{n+1}\,$) privée d'un point. Encore plus généralement, le passage de $\mathbb{R}^n\,$ à $S^n\,$ est un exemple de compactification d'Alexandrov

La droite projective complexe

C'est l'ensemble des "droites vectorielles" de $\mathbb{C}^2\,$. Une telle droite étant définie par un vecteur non nul, défini à un coefficient de proportionnalité près, on peut la voir comme $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}\,$ quotienté par la relation d'équivalence

$(z,t)\sim (z^\prime, t^\prime)$ si et seulement s'il existe un nombre complexe $\lambda\,$ non nul tel que $(z,t)=\lambda (z^\prime, t^\prime)$.

On la note $\mathbb P^1(\mathbb C)$ (voir l'article espace projectif pour la construction générale de l'espace projectif, et on note $[z,t]\,$ le point associé à $(z,t)\,$. On dit que $(z,t)\,$ est un système de coordonnées homogènes du point $[z,t]\,$.

Remarquons aussi que $\phi_1 : z\mapsto [z,1]$ est une bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[1,0]$.
De même : $\phi_2 : z\mapsto [1,z]$ est une bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb P^1(\mathbb C)\setminus[0,1]$.

Ces deux façons d'identifier $\mathbb{C}$ à $\mathbb P^1(\mathbb C)$ privé d'un point sont analogues aux identications de $\mathbb{R}^2\,$ à la sphère unité privée d'un point à l'aide des projections stéréographiques de pôles Nord et Sud.

Cette remarque permet de donner une bijection explicite entre $S^2=\big\{(X,Y,Z)\in\mathbb{R}^3\,\big|\,X^2+Y^2+Z^2=1\big\}$ et $\mathbb P^1(\mathbb C)$. C'est l'application $g\,$ définie par

$g(X,Y,Z)=[X+iY,Z]\,$ si $Z\not=1\,$ et $g(X,Y,Z)=[Z,X-iY]\,$ si $Z\not=-1\,$

(ces deux définitions sont compatibles si $Z\not=\pm 1$, grâce à l'équation de la sphère !).

Son application réciproque, si on identifie $\mathbb{R}^3\,$ à $\mathbb{C}\times\mathbb{R},$. est

$H :(z,t)\mapsto \left(\frac{2z\overline t}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}, \frac{\vert z\vert^2- \vert t\vert^2}{\vert z\vert^2+ \vert t\vert^2}\right)$

Homographies

On peut faire agir une matrice de $GL_2(\mathbb C)$ sur la sphère; la matrice a,b,c,d agit sur $z\in\mathbb P^1(\mathbb C)$ ainsi:

• si $z\in\mathbb C$ et $bz+d\neq0$, on lui associe $\frac{az+c}{bz+d}$
• si $z\in\mathbb C$ et bz + d = 0, on lui associe $\infty$
• si $z=\infty$ et b = 0, on lui associe $\infty$
• si $z=\infty$ et $b\neq0$, on lui associe $\frac{a}{b}$

Une homographie est la bijection de la sphère de Riemann induite par l'action d'une matrice (on identifie souvent les deux); c'est même une fonction méromorphe.

Voir Aussi

• Résidu à l'infini

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