Sous-espace supplementaire


Sous-espace supplementaire

Sous-espace supplémentaire

En mathématiques, un sous-espace supplémentaire est un sous-espace vectoriel défini par rapport à un autre sous-espace qui, de manière intuitive (ne pas confondre avec la notion de complémentaire), sépare l'espace en deux parties d'intersection égale au vecteur nul, et de telle sorte que tout vecteur soit la somme d'un vecteur membre du sous-espace vectoriel et d'un élément de son supplémentaire. Les deux vecteurs formant la somme sont obtenus par des projecteurs. Le sous-espace et son supplémentaire sont dit en somme directe.

Pour comprendre de manière intuitive ce qu'est un sous-espace supplémentaire, posons E un espace vectoriel de dimension n, qui est engendré par une base B comportant donc n vecteurs et E1 un sous-espace vectoriel de E de dimension n1 et qui admet une base B1 comportant donc n1 vecteurs. Soit un sous-espace supplémentaire E2 de E1 dans E. E2 est un espace vectoriel de dimension n2 = n - n1 engendré par une base B2 comportant n2 vecteurs tels que la famille des vecteurs de B1 et de B2 soit libre (et soit donc une base de E). En fait, si on a une base de E1, on peut trouver une base d'un E2 en complétant la base de E1 pour obtenir une base de E, cette base de E2 étant composée des vecteurs que l'on a ajouté à la base de E1 pour obtenir une base de E.

Tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire, cependant dans le cas où la dimension n'est pas finie, alors la démonstration utilise le lemme de Zorn, et donc indirectement, l'axiome du choix.

Définition

Dans la suite de l'article E désigne un espace vectoriel, x désigne un vecteur quelconque de E et E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels.

La définition d'un sous-espace supplémentaire est donnée par l'équivalence des quatre propositions suivantes:

  • E2 est un sous-espace supplémentaire de E1.
  • E1 et E2 ont une intersection réduite au vecteur nul et tout vecteur s'écrit comme la somme d'un vecteur de E1 et E2.
  • Tout vecteur x s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2.
  • Il existe deux projecteurs P1 et P2 tel que leur somme soit égal à l'identité et l'image de P1 (respectivement P2) soit égal à E1 (respectivement E2)

Les deux sous-espaces sont alors dit en somme directe. On note E = E_1 \oplus E_2.

Propriétés

  • Tout sous-espace vectoriel E1 admet un supplémentaire E2.
  • Dans le cas où E est de dimension finie, alors la dimension de E2 est égale à la codimension de E1.
  • Si E2 est un supplémentaire de E1, Alors E est isomorphe au produit cartésien E1xE2.

Liens internes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Sous-espace suppl%C3%A9mentaire ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace supplementaire de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Sous-espace supplémentaire — En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, deux sous espaces vectoriels d un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur de l espace se décompose de façon unique en une somme d un vecteur de chacun des… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace caracteristique — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace propre — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace vectoriel — En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un sous espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, cette partie doit vérifier : La somme vectorielle de deux… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace caractéristique — Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur propre le sous espace  …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace stable — En algèbre linéaire, un endomorphisme laisse stable un sous espace vectoriel F quand les éléments de F ont pour image un élément de F. La recherche de sous espaces stables est étroitement liée à la théorie de la réduction des endomorphismes.… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espaces supplémentaires — Sous espace supplémentaire En mathématiques, un sous espace supplémentaire est un sous espace vectoriel défini par rapport à un autre sous espace qui, de manière intuitive (ne pas confondre avec la notion de complémentaire), sépare l espace en… …   Wikipédia en Français

  • Espace Vectoriel — En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée… …   Wikipédia en Français

  • Espace vectoriel linéaire — Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont… …   Wikipédia en Français

  • Espace Dual — En mathématiques, l espace dual d un espace vectoriel E est l ensemble des formes linéaires sur E. La structure d un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et …   Wikipédia en Français