Sous-espace supplementaire

Sous-espace supplémentaire

En mathématiques, un sous-espace supplémentaire est un sous-espace vectoriel défini par rapport à un autre sous-espace qui, de manière intuitive (ne pas confondre avec la notion de complémentaire), sépare l'espace en deux parties d'intersection égale au vecteur nul, et de telle sorte que tout vecteur soit la somme d'un vecteur membre du sous-espace vectoriel et d'un élément de son supplémentaire. Les deux vecteurs formant la somme sont obtenus par des projecteurs. Le sous-espace et son supplémentaire sont dit en somme directe.

Pour comprendre de manière intuitive ce qu'est un sous-espace supplémentaire, posons E un espace vectoriel de dimension n, qui est engendré par une base B comportant donc n vecteurs et E₁ un sous-espace vectoriel de E de dimension n₁ et qui admet une base B₁ comportant donc n₁ vecteurs. Soit un sous-espace supplémentaire E₂ de E₁ dans E. E₂ est un espace vectoriel de dimension n₂ = n - n₁ engendré par une base B₂ comportant n₂ vecteurs tels que la famille des vecteurs de B₁ et de B₂ soit libre (et soit donc une base de E). En fait, si on a une base de E₁, on peut trouver une base d'un E₂ en complétant la base de E₁ pour obtenir une base de E, cette base de E₂ étant composée des vecteurs que l'on a ajouté à la base de E₁ pour obtenir une base de E.

Tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire, cependant dans le cas où la dimension n'est pas finie, alors la démonstration utilise le lemme de Zorn, et donc indirectement, l'axiome du choix.

Définition

Dans la suite de l'article E désigne un espace vectoriel, x désigne un vecteur quelconque de E et E₁ et E₂ deux sous-espaces vectoriels.

La définition d'un sous-espace supplémentaire est donnée par l'équivalence des quatre propositions suivantes:

• E₂ est un sous-espace supplémentaire de E₁.
• E₁ et E₂ ont une intersection réduite au vecteur nul et tout vecteur s'écrit comme la somme d'un vecteur de E₁ et E₂.
• Tout vecteur x s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂.
• Il existe deux projecteurs P₁ et P₂ tel que leur somme soit égal à l'identité et l'image de P₁ (respectivement P₂) soit égal à E₁ (respectivement E₂)

Les deux sous-espaces sont alors dit en somme directe. On note $E = E_1 \oplus E_2$.

Démonstration

• La deuxième proposition est équivalente à la troisième

Dire qu'il existe une manière unique d'écrire un vecteur comme somme de deux vecteurs de E₁ et E₂ signifie que tout vecteur de l'intersection des deux sous-espaces s'écrit comme la somme de deux vecteurs nulles.

• La troisième proposition implique la quatrième proposition

Supposons la troisième proposition vraie. Soit x = x₁ + x₂ la décomposition de la troisième proposition. Définissons P₁ (respectivement P₂) comme l'endomorphisme qui à x associe x₁ (respectivement x₂).

Alors P₁ (respectivement P₂) sont linéaires, en effet si λ est un scalaire et y un vecteur ayant pour décomposition y = y₁ + y₂, alors:

$x+\lambda .y=x_1+\lambda .y_1+x_2+\lambda .y_2\;$

est l'unique décomposition du vecteur x + λy. L'unicité de la décomposition montre les deux égalités suivantes et donc la linéarité de P₁ et P₂.

$P_1(x+\lambda .y)=x_1+\lambda .y_1\quad et\quad P_2(x+\lambda .y)=x_2+\lambda .y_2\;$

Les trois égalités suivantes montrent que P₁ et P₂ sont des projecteurs:

$(P_1\circ P_1)(x)=P_1(x_1)=x_1\quad et (P_2\circ P_2)(x)=P_2(x_2)=x_2\;$

Ces égalités montrent de plus que P₁ (respectivement P₂) a bien pour image E₁ (respectivement E₂), que la restruction de P₁ (respectivement P₂) sur leurs images est bien l'identité et que leur noyau est E₂ (respectivement E₁). L'égalité suivante montre que leur somme est égale à l'identité:

$(P_1+P_2)(x)=P_1(x)+P_2(x)=x_1+x_2=x=Id(x)\;$

• La quatrième proposition implique la troisième proposition

L'égalité suivante montre l'existence d'une décomposition de x comme somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂.

$x=P_1(x)+P_2(x)\quad avec\quad P_1(x)\in E_1\; et\; P_2(x)\in E_2\;$

Soit alors une décomposition x = x₁ + x₂ du vecteur comme somme d'un vecteur de E₁ et d'un vecteur de E₂. Les égalités suivantes montre l'unicité de x₁ et x₂.

$P_1(x)=P_1(x_1+x_2)=P_1(x_1)+P_1(x_2)=P_1(x_1)=x_1\;$ $P_2(x)=P_2(x_1+x_2)=P_2(x_1)+P_2(x_2)=P_2(x_2)=x_2\;$

Propriétés

• Tout sous-espace vectoriel E₁ admet un supplémentaire E₂.
• Dans le cas où E est de dimension finie, alors la dimension de E₂ est égale à la codimension de E₁.
• Si E₂ est un supplémentaire de E₁, Alors E est isomorphe au produit cartésien E₁xE₂.

Démonstration

• Tout sous-espace vectoriel E₁ admet un supplémentaire E₂.

C'est une conséquence directe du théorème de la base incomplète. Soit une base de E₁, elle forme une famille libre de E, elle peut donc être complétée pour former une base de E. L'espace engendré par les vecteurs complétant la base est un supplémentaire.

• Dans le cas ou E est de dimension finie, alors la dimension de E₂ est égale à la codimension de E₁.

La démonstration est donnée dans l'article Codimension.

• Si E₂ est un supplémentaire de E₁, Alors E est isomorphe au produit cartésien E₁xE₂.

Considérons l'application qui de E₁xE₂ dans E qui à (x₁,x₂) associe x₁+x₂. Cette application est linéaire, son noyau est, par construction réduit au vecteur nul et son image est E. Il existe donc un isomorphisme entre les deux structures.

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