Somme (arithmetique)

Somme (arithmétique)

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En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule réduite pour l'exprimer. Les méthodes employées pour obtenir de telles formules sont liées à l'étude des séries numériques.

La limite d'une série est également appelée une somme, même si elle ne s'obtient pas directement par une addition finie.

Somme des n premiers entiers

La somme des n premiers entiers fait l'objet de l'identité :

$S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n =\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$

Le calcul de cette somme fait l'objet d'une anecdote concernant Carl Friedrich Gauss, et racontée par lui-même, selon laquelle à l'âge de neuf ans, il aurait stupéfié son enseignant en calculant très rapidement la somme des 200 premiers entiers, alors qu'il s'attendait à ce que ce calcul l'occupât un long moment. La méthode pour effectuer rapidement ce calcul est :

$\begin{array}{r*{10}{c}} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n\\ \mbox{ou encore } S &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\ \mbox{En sommant : } S+S &=& n+1 &+& n+1 &+& \cdots &+& n+1 &+& n+1\\ \end{array}$

On a ainsi : $\displaystyle 2S = n(n+1)$ , d'où on tire : $S = \frac{n(n+1)}{2}$

Somme des n premières puissances k^e d'entiers

La somme des n premiers carrés d'entiers vérifie l'identité :

$\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(2n+1)(n+1)n}{6}$

Cette identité peut faire l'objet de nombreuses démonstrations différentes. La plus simple consiste en une simple démonstration par récurrence, mais nécessite que la formule soit connue au préalable. Une méthode pour retrouver la formule sans qu'elle soit connue est de considérer le signe somme comme une opération d'intégration, ce qui amène naturellement à chercher une « primitive » de n² comme un polynôme de degré 3 : P(n) = an³ + bn² + cn + d. Le terme primitive correspond ici à une notion d'intégrale discrète, c'est-à-dire qu'on souhaite que soit vérifiée l'équation :

$P(i)-P(i-1)=i^2\,$

Cette équation amène aux valeurs $a=\frac13,\;b=\frac12,\;c=\frac16$, puis en sommant l'identité précédente pour i allant de 0 jusqu'à n, permet de montrer l'identité annoncée.

Une autre méthode, basée aussi sur cette idée de primitive consiste à partir de l'identité :

$\int_i^{i+1}x^2dx=i^2+i+\frac13,$

et à la sommer pour i allant de 0 jusqu'à n, ce qui permet d'obtenir :

$\frac{(n+1)^3}{3}=\int_0^{n+1}x^2dx=\sum_{i=0}^n (i^2+i+\frac13).$

En supposant déjà connue la formule pour la somme des n premiers entiers, l'identité souhaitée s'en déduit.

Ces deux méthodes par primitive permettent de généraliser au calcul de la somme des n premières puissances k^e ; la deuxième nécessitant toutefois un calcul par récurrence sur k. Les formules obtenues pour k=3, et k=4 sont :

$\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}.$

$\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n}{30}(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n -1).$

Les formules générales font intervenir les nombres de Bernoulli.

Autres sommes utiles

Les relations suivantes sont des identités :

$\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$

$\sum_{i=0}^n k.i = {k.n(n+1) \over 2 }$ (somme d'une suite arithmétique)

pour x≠ 1, $\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ (voir séries géométriques)

pour |x|<1 $\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x}$

$\sum_{i=0}^{n} {C_n^i} = 2^n$ (voir coefficient binomial)

$\sum_{i=0}^{n-1} {C_i^k} = {C_n^{k+1}}$

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)$ (voir Constante d'Euler-Mascheroni)

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}=:e^{z}$, $z\in\mathbb{C}$

Sommes de Riemann

Article détaillé : Somme de Riemann.

Sous des hypothèses sur les intervalles et la fonction f, les sommes de Riemann s'écrivent :

$S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)$

Elles permettent de calculer l'intégrale de la fonction f :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt$

Voir aussi

• Addition
• Produit mathématique
• Langage formel mathématique
• Formule de Faulhaber

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