Réseau optique


Réseau optique

Réseau de diffraction optique

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Un disque compact agit comme un réseau de diffraction : on observe des irisations colorées.

Un réseau de diffraction est un dispositif optique composé d'une série de fentes parallèles (réseau en transmission), ou de rayures réfléchissantes (réseau en réflexion). Ces traits sont espacés de manière régulière, l'espacement est appelé le « pas » du réseau.

Si la distance entre les traits est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière, le réseau permet d'obtenir des figures de diffraction :

  • si l'on envoie de la lumière blanche, le réseau décompose la lumière un peu[1] à la manière d'un prisme ; c'est le phénomène qui se produit sur les disques compacts, la lumière est diffractée par les variations qui forment les bits et qui jouent le rôle des traits du réseau ;
  • si l'on envoie une seule longueur d'onde (lumière monochromatique), le réseau réfléchit plusieurs taches ; la direction de réflexion des taches dépend de la distance entre les traits et de la longueur d'onde.

Sommaire

Formules d'optique

Le principe des réseaux de diffraction repose sur une même formule pouvant être démontrée soit par l'optique géométrique, soit par la théorie électromagnétique de Maxwell. Il se base sur le principe de Huygens-Fresnel.

Le calcul sur un réseau est très similaire au calcul fait sur les fentes de Young (voir cet article) : la différence de marche entre deux traits (donc le déphasage des rayons diffusés par deux traits voisins) se calcule de la même manière. La différence est qu'au lieu d'avoir la somme de deux fonctions d'onde, on a la somme d'une série « infinie » (le nombre de traits étant très grand) :

E(x,t) = \sum_{i = 0}^{\infty} E_i  = E_0 \cdot \sum_{i = 0}^{\infty}  \cos ( \omega t - i \cdot \Delta\varphi (x) )

en reprenant les notations de l'article Fentes de Young :

  • x est l'abscisse du point sur l'écran de visualisation, sur un axe perpendiculaire aux traits du réseau ;
  • E_0 \cdot sin(\omega t) est l'amplitude de l'onde incidente arrivant sur le trait 0, ω étant la pulsation ;
  • \Delta\varphi (x) = \frac{2 \pi V x}{\lambda D} est le déphasage entre deux traits voisins, avec
    • V le pas du réseau ;
    • D la distance entre le réseau et l'écran de visualisation de la figure de diffraction (écran parallèle au plan du réseau).

Si l'on est en condition de diffraction entre deux traits (cas des fentes de Young), on l'est également entre tous les traits : le déphasage est partout un multiple de 2π. On va donc avoir de maxima d'intensité en

x_k = k \cdot \frac{\lambda D}{V}

ou bien, si l'écran est « à l'infini » (c'est-à-dire à plusieurs mètre ou bien dans le plan focal image d'une lentille convergente), on considère l'angle de déviation α donnant un maximum d'intensité :

\alpha_k = \arcsin \left (k \cdot \frac{\lambda}{V} \right )

Largeur des raies et taille du réseau

La différence entre un réseau et des fentes de Young est que l'intensité va s'annuler dès que l'on s'écarte des conditions de diffraction. Au lieu d'avoir un pic dont la forme est en cos2, on a un pic très fin : si l'on se place en xk + δx, alors

\Delta\varphi (x) = 2 k \pi + \frac{2 \pi V \delta x}{\lambda D}

un trait i sera en opposition de phase avec le trait 0 s'il existe un entier j vérifiant

i \cdot \frac{2 \pi V \delta x}{\lambda D} = \pi + 2j\pi

soit :

i = (1 + 2j) \cdot \frac{\lambda D}{2V \delta x}

Dans le cas des fentes de Young, il n'y a annulation que lorsque λD/2Vδx est entier ; ici, il suffit de prendre j suffisamment grand pour que la fraction devienne entière. En théorie (nombre infini de traits éclairés), l'intensité est donc nulle hors condition de diffraction (l'ensemble des réels est l'adhérence de l'ensemble des rationnels).

Dans la pratique, le réseau a un nombre fini de traits, et seule une portion du réseau est éclairée. Si l'on appelle N le nombre de traits éclairés, alors l'intensité s'annule pour la première fois lorsque

\delta x = \frac{\lambda D}{2NV}

si N est impair, ou en

\delta x = \frac{\lambda D}{2(N-1)V}

s'il est pair. La largeur du pic est donc divisée par N (ou N-1) par rapport aux fentes de Young.

Le cas de la diffraction à l'infini peut se traiter dans l'espace réciproque.

Formule des réseaux

Une ampoule placée derrière un réseau de diffraction.

Lorsque la lumière frappe un réseau, elle n'est réfléchie ou transmise qu'en certains points, les traits du réseau. Chaque trait diffuse la lumière dans toutes les directions, et ces ondes interfèrent.

Comme les traits sont disposés de manière régulière, on a une alternance interférence constructive/interférence destructive selon l'angle de diffusion. On peut ainsi calculer, pour une longueur d'onde λ donnée, les angles r pour lesquels on aura une interférence constructive.

Réseau en réflexion
Soit n1 l'indice du milieu de propagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ). Soit i l'angle d'incidence et r l'angle de réflexion pour lequel on a une interférence constructrice. Soit a le pas du reseau et m un nombre entier. On a
n_1 \sin r=-n_1 \sin i + m \frac{\lambda}{a}
Réseau en transmission
Soit n1 l'indice du milieu de propagation de l'onde incidente (de longueur d'onde λ), et n2 l'indice du milieu transparent dans la fente du réseau (on peut avoir n1 = n2 si la fente est un simple évidement). Soit i l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction pour lequel on a une interférence constructrice. Soit a le pas du reseau et m un nombre entier. On a
n_2 \sin r=n_1 \sin i - m \frac{\lambda}{a}

Dans ces deux formules, les angles sont décris par une valeur algébrique.

Le nombre m se nomme le « mode », ou encore « ordre de diffraction ». Dans chaque cas étudié, le nombre de modes se déduit des équations précédentes en notant que

-1 ≤ sin r ≤ 1

chaque longueur d'onde est donc diffractée dans plusieurs directions. En fait il existe plus de modes mais ceci reste en surface du réseau.

Vocabulaire

Dispersion angulaire
On appelle dispersion angulaire la dérivée
\frac{dr}{d\lambda}.
Efficacité
Soit Am l'amplitude de l'onde réfléchie à l'ordre m.
L'efficacité ressemble en tous points au coefficient de reflexion d'une onde. On la définit, à l'ordre m, par :
\left|A_m\right|^2 \frac{\cos r}{\cos i}
Intervalle spectral libre (ISL)
Il est défini par le rapport
\frac{\lambda}{m}.
Il correspond à l'intervalle maximal de longueur d'onde pour qu'il n'y ait pas recouvrement d'ordre.
Résolution
La résolution est limitée car le réseau a une dimension finie (convolution par fonction porte d'un signal echantillonné, donc problème de recouvrement spectral). Elle est donnée par
\frac{\lambda \cdot m}{V}.

Applications

Principe de fonctionnement d'un monochromateur : le réseau permet de séparer les couleurs.

Les applications sont diverses en spectroscopie car l'angle de sortie dépend de la longueur d'onde étudiée. Ainsi, les réseaux sont utilisés dans les spectroscopes de type Littrow ou dans le montage de Czerny-Turner (voir l'article Analyse dispersive en longueur d'onde).

Les réseaux peuvent être utilisés comme monochromateurs : en choisissant une direction, on peut sélectionner une seule longueur d'onde. Il est donc possible de les utiliser dans les lasers accordables.

De plus, lorsqu'un réseau se déplace d'une longueur x, il introduit un déphasage de \frac{p \cdot 2\pi}{V}, donc grâce aux interférences entre les modes 1 et -1 on peut remonter au déplacement du réseau. On peut donc ainsi réaliser un capteur de déplacement de haute résolution.

Les réseaux sont également très utiles dans l'enseignement car ils permettent de comprendre les propriétés de la lumière ; ils sont souvent utilisés en travaux pratiques.

Il existe également des réseaux bidimensionnels, composé de lignes non parallèles ou de points. À la base, l'holographie consiste à créer un réseau bidimensionnel en impressionnant une pellicule photographique. La restitution de l'image est en fait la figure de diffraction sur ce réseau. Un autre exemple est la diffraction de la lumière sur un disque compact, les bit étant autant de points.

Il existe enfin des réseaux tridimensionnels : les cristaux. Chaque nœud du réseau (atome ou molécule) est un site de diffusion. C'est la base de la diffraction de rayons X, de la figure de diffraction en microscopie électronique en transmission, des pseudo-lignes de Kikuchi utilisée en EBSD (microscopie électronique à balayage), et de la diffraction de neutrons. Voir les articles Loi de Bragg et Théorie de la diffraction sur un cristal.

Nous avons vu ci-dessus que moins un réseau à une dimension a de traits, plus les pics de diffraction sont large. De même, moins un cristallite a d'atomes (plus il est petit), plus les pics sont larges. Cela permet d'estimer la taille de cristallite par diffraction de rayons X, voir l'article Formule de Scherrer.

Notes

  1. En fait, la déviation est d'autant plus grande que la longueur d'onde est grande, dans le cas d'un réseau, contrairement à ce qui se passe avec un prisme

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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