Référentiel galiléen tangent

En mécanique newtonienne, la loi du Principe d'inertie fait jouer le même rôle à toute la classe des référentiel galiléens, de vitesses relatives uniformes.

Dès l'époque de Torricelli, l'idée d'utiliser LE référentiel galiléen tangent devient courante. CE référentiel est celui qui a la vitesse $\vec{V}(to)$ du mobile à l'instant to. Il permet des raisonnements plus concis.

En Relativité (restreinte) aussi, il est utilisé.

Conséquences

De ce fait, tout mouvement d'un mobile sous l'action d'une force $\vec{F}$ est perçu localement comme la somme vectorielle de deux mouvements : un mouvement uniforme (Po, PoQ = Vo.t1) et un mouvement de "chute" PoR = 1/2 F(to,Po)/m .t1^2 , ceci pour un temps infinitésimal t1 : PoQ +PoR ==PoP : le point P "retombe" sur sa trajectoire. On recommence alors à partir du point P. Cette méthode appliquée à des temps finis (dite méthode approchée d'Euler) est évidemment fausse, mais d'autant plus précise que le pas de temps t1 est "petit" [ Il faudra attendre Picard au XVIII^e, pour que cette méthode soit justifiée ; Leibniz se trompait en oubliant le coefficient 1/2 et Bernoulli l'a corrigé].

Ainsi, à tout mouvement $(\vec{OP},\vec{V})$ correspond un semi-groupe G(t) qui associe à un point initial de l'espace des phases $(\vec{OP_0},\vec{V_0})$ le point $(\vec{OP},\vec{V})$ , tel que G(t+t') = G(t)o G(t').

Ce type de raisonnement appliqué systématiquement par Huygens, Newton et bien d'autres conduira à la formulation des Principia en 1687, avec la figure du "funiculaire à rochets", si revendiquée par Hooke ( à tort, car ce type de figure existe bien avant lui, la méthode d'Euler ayant été "anticipée" dès 1540, au moins).

Une application classique : le cas de la chute libre : alors le mouvement est $\vec{P_0P} = \vec{V_0}t + \frac {1}{2} \vec{g}t^2$, même pour t grand (il en résulte que la trajectoire est une parabole). En effet , puisque le mouvement dans le référentiel galiléen tangent est Vo.t + g . f(t) , la tangente est V(t) = Vo + g.f'(t) ; donc f'(t1+t2) = f'(t1) +f'(t2) ; donc f'(t) est linéaire. Ce raisonnement est déjà compris de Torricelli.

Ce principe de Galilée n'est point abandonné par Einstein en théorie de la Relativité Restreinte : soumis à une accélération constante dans le référentiel galiléen tangent, une particule avance bien de 1/2 g .t^2 et prend bien la vitesse g .t . MAIS ATTENTION , le temps est celui du Référentiel galiléen tangent, et il faut appliquer soigneusement l'addition des vitesses : au bout des calculs, on retrouve bien le résultat usuel d'Einstein [ v / sqrt(1-v^2/c^2) = g.t ]

Mouvement de la fusée

Si une fusée a une masse m(t) et que la masse éjectée par seconde ( D(t) = -dm/dt) a la vitesse Ve d'éjection par rapport à la fusée , le mouvement est donné par l'équation :

$m \frac {d\vec{V}}{dt} = \vec{R} - D \vec{V_e}$

R représente la résultante des forces extérieures, et -D.Ve, la force de poussée.

• (Si R=0, on pourra vérifier que le système {fusée + gaz} a son centre de masse à l'origine ( pour tout Ve d'ailleurs ! )).

On peut bien sûr comme à l'accoutumée raisonner dans le référentiel de la base de lancement. Mais utiliser le Référentiel galiléen tangent permet un raisonnement plus efficace :

$m {d\vec{V}}+ (-dm)\vec{Ve} = \vec{R} dt$ .

En relativité restreinte, les formules de Frenet se généralisent avec la notion de masse longitudinale et de masse transverse, soit en faisant un calcul assez lourd , soit en prenant le Référentiel galiléen tangent.

Attention: citons l'exercice suivant car il est "piégeux" :

Une balle est tirée d'un canon à la vitesse Vo . Le canon peut être installé sur un chariot roulant sur un sol horizontal à la vitesse V1 = Vo . Dans quelle direction pointer le canon pour obtenir la portée horizontale maximale?

Spontanément, après avoir appris cette notion de Référentiel galiléen (tangent ou pas), beaucoup de gens répondent : il faut que le canon pointe à la verticale pour tirer à 45°. Hélas, non ! La réponse est donnée par : il faut pointer à 60° (car 2 Vx^2 +V1.Vx = Vo^2 ). Cela montre à quel point notre intuition peut être bafouée, donc attention !

Voir aussi

• Référentiel galiléen
• Parabole de sûreté
• Fusée