- Rotation vectorielle
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Soit E un espace vectoriel euclidien orienté réel de dimension finie n. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée directe de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe.
Sommaire
Rotation vectorielle plane
Écriture matricielle
Article détaillé : Matrice de rotation.Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle
. Sa matrice dans une base orthonormée directe est :
.
Autrement dit, un vecteur
de composantes (x,y) a pour image le vecteur
de composantes (x',y') que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :
,
c'est-à-dire que l'on a :
et
.
Écriture complexe
Ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :
ou encore :
.
Sens de rotation
Lorsque φ est compris entre 0 et π et si le plan est orienté de façon usuelle, la rotation se fait dans le sens trigonométrique (ou « sens inverse des aiguilles d'une montre » ). On dit que la rotation est sénestre. Si φ est compris entre − π et 0, la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle est dite dextre.
Composition
La composée de deux rotations vectorielles est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe
.
Rotations et angles
Dans la construction axiomatique de la géométrie, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle (voir l'article Angle).
Rotation vectorielle dans l'espace de dimension 3
Écriture matricielle
Article détaillé : Matrice de rotation.Dans l'espace euclidien orienté de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par :
- un vecteur unitaire
, qui détermine son axe : la droite des vecteurs invariants par cette rotation vectorielle est engendrée et orientée par ce vecteur,
- son angle
, celui de la rotation vectorielle plane associée, restriction de cette rotation au plan
orthogonal à l'axe.
L'orientation de ce plan est déterminée par le choix de l'orientation de l'axe. Les couples
et
représentent donc la même rotation de l'espace.
Nous noterons
les coordonnées du vecteur unitaire
dans une base orthonormée directe
fixée :
.
Soit
un vecteur quelconque. Notons
son image par la rotation
.
Cas particulier simple
Commençons par l'étude du cas particulier
.
Le plan
est alors le plan engendré par les vecteurs
et
. Le vecteur
se décompose en un vecteur
colinéaire à
qui est invariant par la rotation, et un vecteur
qui subit une rotation d'angle φ dans le plan
, et l'on peut appliquer à
les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes. On peut donc écrire :
et
comme ci-dessus,
ce qui peut s'écrire sous la forme synthétique :
Cas général
Si le vecteur
est quelconque par rapport à la base orthonormée directe
qui sert à exprimer les composantes, le raisonnement est plus délicat.
Le vecteur
se décompose en la somme de
, colinéaire à
et invariant par la rotation, et de
, élément de
et qui va subir une rotation dans ce plan. Le vecteur directement orthogonal à
dans le plan et de même norme est
, de sorte que l'image de
dans la rotation d'angle φ est
.
Finalement, l'image de
par la rotation vaut :
et si on remplace
par sa valeur
, on obtient :
d'où finalement la formule d'Olinde Rodrigues[1] :
La formule encadrée ci-dessus donne l'expression vectorielle de l'image
d'un vecteur
quelconque, par la rotation
.
On peut présenter le même résultat sous la forme matricielle équivalente suivante :
avec :
Remarques
La matrice M est appelée matrice de rotation. C'est une matrice orthogonale directe, ce qui signifie que ses colonnes forment une base orthonormée directe, ou encore que sa matrice transposée est égale à sa matrice inverse et que son déterminant vaut 1.
Inversement, étant donné une matrice de rotation quelconque, on retrouve facilement le cosinus de l'angle de rotation. En effet, la trace de la matrice (c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux) est égale à
. Par ailleurs, on remarque que :
ce qui permet de retrouver rapidement l'axe et le sinus associés à la rotation. Géométriquement,
et
forment les deux côtés d'un losange dont le vecteur
est la diagonale, orthogonale à l'axe de rotation. C'est le losange d'Olinde Rodrigues.
Utilisation des quaternions
Article détaillé : Quaternions et rotation dans l'espace.On peut également faire appel à la notion de quaternions. En effet, on peut calculer l'image
du vecteur
en utilisant le produit de quaternions sous la forme suivante :
Composition de deux rotations vectorielles
La composée
de deux rotations vectorielles
et
de l'espace de dimension 3 est une rotation vectorielle. Les caractéristiques
de celle-ci se déterminent à partir de M3 − tM3, où M3 est le produit M2M1 des matrices de rotation initiales, ou bien à partir du produit des quaternions définissant chacune des rotations, ou bien en composant les formules de Rodrigues relatives à chaque rotation.
On trouve que[2] :
Rotations en dimension 4
Les matrices du groupe orthogonal SO(4) peuvent de même se mettre sous forme canonique (après diagonalisation dans C) ; on montre qu'il existe deux plans vectoriels orthogonaux tels que dans une base orthonormale constituée de deux vecteurs de chaque plan, la matrice s'écrive
.
On voit donc que la rotation est composée de deux rotations planes, et ne possède en particulier pas de vecteur fixe (pas d'« axe ») sauf si l'un des angles α ou β est nul (dans ce cas, on peut parler, par analogie avec le cas tridimensionnel, de rotation « autour » d'un plan). Si
, les deux plans sont uniques, et ce sont les seuls plans globalement invariants par la rotation ; dans le cas où α = β (rotations dites isoclines), tous les plans engendrés par un vecteur et son image sont globalement invariants.
Notes et références
- Journal de mathématiques pures et appliquées (1840), 380-440, plus spécialement p.403 Olindes Rodrigues, Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un corps solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendammet des causes qui peuvent les produire,
- Olindes Rodrigues, op. cit., plus spécialement p.408
Voir aussi
Articles connexes
- Rotation affine :
- Groupe orthogonal
- SO(4) (en), le groupe des rotations de l'espace à quatre dimensions
- William Rowan Hamilton
- Harmonique sphérique
Lien externe
- un vecteur unitaire
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