Repère orthonormal


Repère orthonormal

Base orthonormale

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir BON.

Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.

Sommaire

Définition

Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n), une base de En.

  • Si n = 1, alors \mathcal B = ( \vec e_1) est dite orthonormale si et seulement si
 \| \vec e_1 \| = 1
  • Si n > 1, alors \mathcal B est orthonormale si et seulement si
\| \vec e_1 \| = \| \vec e_2 \| = ... = \| \vec e_n \| = 1
et,
pour tout  i \not = j, \vec e_i \perp \vec e_j ( c'est-à-dire \vec e_i \cdot \vec e_j = 0 )

Une base orthonormale est donc une base où tous les vecteurs de la base sont de norme 1 et sont orthogonaux 2 à 2. Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.

Repère orthonormal (ou orthonormé)

Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors le repère

 \mathcal R = (\ O , \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)

est dit orthonormal si et seulement si sa base associée  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) est elle-même orthonormale.

En géométrie dans l'espace

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) au lieu de (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}).

La base est dite « directe » si \vec{k} est le produit vectoriel de \vec{i} et de \vec{j} (\vec{k} = \vec{i} \wedge \vec{j}).

Le terme « base orthonormale directe » est parfois abrégé par le sigle BOD.

Si la base associée à un repère est orthonormale directe, le repère est un repère orthonormal direct, terme parfois abrégé par le sigle ROND.

Voir l'article Orientation (mathématiques).


Orthonormalisation

Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.

On peut à partir d'une base qui n'est pas orthonormale construire une base orthonormale. La méthode la plus répandue est l'orthogonalisation de Gram-Schmidt. Cette méthode permet de construire une base orthonormale à partir de toute base de l'espace.

Voir aussi


  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Base orthonormale ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Repère orthonormal de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Repère orthonormal — ● Repère orthonormal repère affine tel que la base qui sert à le définir est orthonormale …   Encyclopédie Universelle

  • orthonormal, orthonormale, orthonormaux ou orthonormé, orthonormée — ● orthonormal, orthonormale, orthonormaux ou orthonormé, orthonormée adjectif Se dit d une base d un espace vectoriel, orthogonale et telle que la norme de chaque vecteur de la base soit égale à l unité. ● orthonormal, orthonormale, orthonormaux… …   Encyclopédie Universelle

  • Repere de Frenet — Repère de Frenet En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret Frenet est un outil d étude du comportement local des courbes. Il s agit d un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son …   Wikipédia en Français

  • Repère de frenet — En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret Frenet est un outil d étude du comportement local des courbes. Il s agit d un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son mode de… …   Wikipédia en Français

  • Repère orthonormé — Base orthonormale Pour les articles homonymes, voir BON. Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique. Sommaire 1 Définition 2 Repère orthonormal (ou orthonormé) …   Wikipédia en Français

  • Repère de Frenet — En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret Frenet est un outil d étude du comportement local des courbes. Il s agit d un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son mode de… …   Wikipédia en Français

  • Base de Frenet — Repère de Frenet En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret Frenet est un outil d étude du comportement local des courbes. Il s agit d un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son …   Wikipédia en Français

  • Base Orthonormale — Pour les articles homonymes, voir BON. Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique. Sommaire 1 Définition 2 Repère orthonormal (ou orthonormé) …   Wikipédia en Français

  • Base orthonormée — Base orthonormale Pour les articles homonymes, voir BON. Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique. Sommaire 1 Définition 2 Repère orthonormal (ou orthonormé) …   Wikipédia en Français

  • Base orthonormée directe — Base orthonormale Pour les articles homonymes, voir BON. Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique. Sommaire 1 Définition 2 Repère orthonormal (ou orthonormé) …   Wikipédia en Français