Repère barycentrique

Coordonnées barycentriques

En géométrie affine, les coordonnées barycentriques d'un point par rapport à un repère barycentrique est une famille de poids permettant de définir ce point comme un barycentre.

Définition

Soit (P₀,...,P_n) une famille de points dans un espace affine telle que chaque point ne puisse s'écrire comme le barycentre des autres points et qui ne soient pas tous contenus dans un sous-espace affine strict^[1]. Une telle famille est appelée repère barycentrique et dans ce cas, n'importe quel point de l'espace affine peut s'écrire de manière unique^[2] comme un barycentre des points du repère.

Les coordonnées barycentriques de n'importe quel point de l'espace sont alors les poids associés à chaque point du repère. Elles peuvent être définies de manière unique en supposant que la somme des poids soit fixée à 1.

Exemple

Étant donné un triangle ABC de centre de gravité G, en notant I le milieu de [BC], le point G est de coordonnées barycentriques (1;1;1) par rapport au repère (A,B,C) dans le plan, ou de coordonnées (1;2) par rapport au repère (A,I) de la droite (AI).

Dans ce triangle, le point I est de coordonnées (0;1;1) par rapport au repère (A,B,C).

Convexité

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points E rassemble tous les points admettant des coordonnées barycentriques à coefficients tous positifs par rapport à une famille de points de E.

Lien avec les coordonnées cartésiennes

Dans un espace vectoriel muni d'une base (e₁,...,e_n), la famille (0,e₁,...,e_n) constitue un repère barycentrique pour la structure d'espace affine canonique et tout vecteur de composantes (λ₁,...,λ_n) pour la base (e₁,...,e_n), correspond au point de coordonnées barycentriques (1 − s,λ₁,...,λ_n), où s est la somme des coefficients λ_i.

Notes et références

1. ↑ Autrement dit, il faut qu'ils n'appartiennent pas tous à un même hyperplan.
2. ↑ À multiplication près des poids par un facteur constant non nul.

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