Regle de Cauchy


Regle de Cauchy

Règle de Cauchy

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La règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes complexes, ou à termes dans un espace de Banach.

On lui donne parfois aussi le nom de « critère de Cauchy » mais il y a risque de confusion avec l'énoncé très utile « toute suite de Cauchy de réels (ou complexes) converge » qui est celui qu'on désigne le plus souvent comme le « critère de Cauchy », et qui peut aussi être écrit pour l'étude des séries.

Énoncé simplifié

Soit (x_n)\, une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé, par exemple une suite de complexes, et telle que la limite suivante existe :

p=\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|}
  • si p est strictement inférieur à 1 alors la suite (x_n) \, converge vers zéro et même la série de terme général (x_n) \, est absolument convergente.

Donc, dans ce cas, si E est complet (par exemple si E=C), la série est convergente.

  • si p est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
  • si p vaut 1, on ne peut pas conclure : c'est le cas douteux de la règle de Cauchy

Il faut prendre garde aux deux faits suivants:

  • cette limite n'existe pas forcément
  • la règle n'a pas de réciproque: la série de terme général (x_n) \, peut être absolument convergente sans que la suite de terme général \sqrt[n] {\left\|x_n\right\|} ne soit convergente; tout ce qu'on peut dire est que si elle est convergente, alors sa limite ne peut être strictement supérieure à 1 et est donc inférieure ou égale à 1.

Énoncé plus précis

On retrouve le même énoncé en remplaçant la notion de limite par celle de limite supérieure dans la définition de p.

Voir aussi

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