Radian


Radian
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Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes, et un cercle de rayon r centré à l'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Définition de l'angle en radians

Un angle de 1 rad est un angle, qui, ayant son sommet au centre d'un cercle, intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein.

Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (180°/pi). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles θ d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :

\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta.

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.

\theta_{rad} \approx \ {1 \over 57,3}

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3°,

\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 57,3 {deg}}

ou

\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 1 rad} avec 1 rad = 57,3°.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}
\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}
\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}.

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle valeur en rad valeur en g valeur en °
angle nul 0 rad 0g
milliradian 1 mrad 0g 6c 36cc 61ccc 0° 3′ 26″ 15‴
π/6 rad 33g 33c 33cc 33ccc 30°
π/4 rad 50g 45°
radian 1 rad 63g 66c 19cc 77ccc 57° 17′ 44″ 48‴
π/3 rad 66g 66c 66cc 66ccc 60°
angle droit π/2 rad 100g 90°
2π/3 rad 133g 33c 33cc 33ccc 120°
3π/4 rad 150g 135°
angle plat π rad 200g 180°
5π/4 rad 250g 225°
3π/2 rad 300g 270°
7π/4 rad 350g 315°
angle plein 2π rad 400g 360°
  • Les angles aigus ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle droit.
  • Les angles obtus ont une valeur comprise entre celles de l'angle droit et de l'angle plat.
  • Les angles saillants ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle plat.
  • Les angles rentrants ont une valeur comprise entre celles de l'angle plat et de l'angle plein.
  • Deux angles de même valeur sont dits superposables, congruents ou isométriques.
  • Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle droit sont dits complémentaires.
  • Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle plat sont dits supplémentaires.
  • Deux angles qui ont leurs sommets et un côté en commun sont dits adjacents.
  • Deux angles qui ont leurs sommets en commun mais qui sont formés des demies différentes des mêmes deux droites sont dits opposés par le sommet.
  • Lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles (diagramme) :
    • deux angles congruents situés entre les droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes internes ;
    • deux angles congruents situés en dehors des droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes externes ;
    • deux angles congruents situés du même côté de la sécante sont dits correspondants.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Radian de Wikipédia en français (auteurs)

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