Racine évidente

L'expression racine évidente est une expression consacrée par l'usage. Elle désigne une racine d'une équation que l'on peut trouver sans faire appel à une méthode élaborée comme la méthode de Cardan ou la méthode de Sotta pour les équations du troisième degré ou bien encore la méthode de Ferrari ou la méthode de Descartes pour les équations du quatrième degré.

Racine évidente sous forme de nombre rationnel

La recherche de racines évidentes sous forme de nombre rationnel dans une équation à coefficients entiers est basée sur la propriété suivante :

Si le polynôme

$\qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

admet une racine sous la forme de fraction irréductible p/q, alors p est diviseur de a ₀ et q est diviseur de a _n .

En conséquence, pour rechercher une éventuelle racine rationnelle dans un polynôme, on établit la liste de tous les diviseurs de a ₀ et la liste de tous les diviseurs de a _n et l'on essaye de remplacer l'inconnue dans l'équation par un rationnel de la forme p/q de toutes les façons possibles en choisissant p parmi les diviseurs de a ₀ et q parmi les diviseurs de a _n jusqu'à ce que l'équation soit vérifiée.

Exemple

Soit l'équation :

3x³ + x² + 13x − 10 = 0

Cherchons une racine évidente.

Les diviseurs du coefficient du terme de plus haut degrés sont :

{1, − 1,3, − 3}

Les diviseurs du coefficient du terme constants sont :

{1, − 1,2, − 2,5, − 5,10, − 10}

Par conséquent les rationnels susceptibles d'ètre des racine évidentes sont :

$\{1,-1,\frac{1}{3},-\frac{1}{3},2,-2,\frac{2}{3},-\frac{2}{3},5,-5,\frac{5}{3},-\frac{5}{3},10,-10,\frac{10}{3},-\frac{10}{3}\}$

En remplaçant x successivement par toutes ces valeurs, on trouve que la seule qui vérifie l'équation est :

$x = \frac{2}{3}$

C'est donc la racine évidente recherchée.

Racine évidente sous la forme $\frac{a\sqrt{b}}{c}$.

Une équation est susceptible d'avoir une racine sous la forme $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de $\sqrt{b}$.

Si c'est le cas, on pose alors :

$x = z\sqrt{b} ~$

et on est alors ramené au cas précédent, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue z, une racine rationnelle.

Exemple

Soit l'équation :

$x^4-x^3\sqrt{3}-3x^2-3x\sqrt{3}-18=0 ~$

Cherchons une racine évidente.

Posons :

$x = z\sqrt{3} ~$

On obtient :

$9z^4-9z^3-9z^2-9z-18=0 ~$

Qui se simplifie sous la forme :

$z^4-z^3-z^2-z-2=0 ~$

En procédant comme au premier paragraphe, on trouve comme racine évidente:

$z = 2 ~$

Et en reportant dans l'expression de x on trouve comme racine évidente de l'équation en x :

$x = 2\sqrt{3} ~$

Racine évidente sous la forme $\frac{a.i}{b}$

Une équation est susceptible d'avoir une racine sous la forme $\frac{a.i}{c}$ si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de l'imaginaire pur i.

Si c'est le cas, on pose alors :

x = z.i

et on est alors ramené au premier cas, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue z, une racine rationnelle.

Application à la résolution d'équations

L'avantage de trouver une racine évidente dans une équation de degré n, c'est de pouvoir se ramener à la résolution d'une équation de degré n-1. En effet soit à résoudre l'équation de degré n :

P(x) = 0

Si le polynôme P(x) a une racine évidente x = a/b, alors l'équation peut se factoriser sous la forme :

(b.x − a).Q(x) = 0

Q(x) étant un polynôme de degré n - 1 obtenu en effectuant la division euclidienne de P(x) par le polynôme du premier degré bx - a.

Nous sommes alors ramené à la résolution de l'équation de degré n - 1 :

Q(x) = 0