Racine carrée d'une matrice

En mathématiques, la notion de racine carrée d'une matrice particularise aux anneaux de matrices carrées la notion générale de racine carrée dans un anneau.

Définition

Soient A un anneau et M une matrice carrée d'ordre $n \in \N^*$ à coefficients dans A. Un élément R de $\mathcal{M}_n(A)$ est une racine carrée de M si R² = M.

Une matrice donnée peut n'admettre aucune racine carrée, comme un nombre fini voire infini de racine carrées.

Exemples

Dans $\mathcal{M}_2(\R)$ :

• $\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ est une racine carrée de $\begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\ ;$
• les $\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ (pour tout réel x) sont des racines carrées de $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\ ;$
• $M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ n'a pas de racine carrée R, car cela imposerait $0\le(\det(R))^2= \det(R^2)= \det(M)=-1$ (mais elle en a dans $\mathcal{M}_2(\C)$).

Dans $\mathcal{M}_2(\C)$, la matrice $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ n'a pas de racine carrée, parce qu'elle est non nulle mais de carré nul (on dit qu'elle est nilpotente d'indice 2). En effet, une racine carrée R serait aussi nilpotente (de puissance 4^e nulle), or toute matrice nilpotente de taille 2 est de carré nul. On aurait donc M = R² = 0, ce qui n'est pas le cas.

Inverse

Si R est une racine carrée de M alors R est inversible si et seulement si M l'est.

Si une matrice est inversible, les racines carrées de son inverse sont les inverses de ses racines carrées.

Matrice positive

Toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable via une matrice de passage orthogonale, et elle est positive si et seulement si ses valeurs propres sont réelles positives. Par ailleurs, si une matrice S est diagonalisable alors son carré a mêmes sous-espaces propres (associés aux carrés des valeurs propres de S). Par conséquent, parmi les racines carrées d'une matrice symétrique positive M, une et une seule est symétrique positive : la matrice S qui a mêmes sous-espaces propres que M et dont les valeurs propres associées sont les racines carrées de celles de M. De plus, lorsque M est définie positive, S l'est aussi.

Pour les matrices à coefficients complexes, la situation est la même en remplaçant « symétrique » par « hermitienne » et « orthogonale » par « unitaire » .

Algorithme de calcul de Denman–Beavers

Le calcul de la racine carrée d'une matrice A peut s'effectuer par convergence d'une suite de matrices. Soit Y₀ = A et Z₀ = I où I est la matrice identité. Chaque itération repose sur :

$\begin{align} Y_{k+1} &= \tfrac12 (Y_k + Z_k^{-1}), \\ Z_{k+1} &= \tfrac12 (Z_k + Y_k^{-1}). \end{align}$

La convergence n'est pas garantie (même si A possède une racine carrée) mais si elle a lieu alors la suite Y_k converge de façon quadratique vers A^1/2, tandis que la suite Z_k converge vers son inverse, A^−1/2 (Denman et Beavers 1976 ; Cheng et al. 2001).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of a matrix » (voir la liste des auteurs)
• (en) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham (en), Charles S. Kenney et Alan J. Laub, « Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy », dans SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22, n^o 4, 2001, p. 1112–1125 [texte intégral, lien DOI] 
• (en) Eugene D. Denman et Alex N. Beavers, « The matrix sign function and computations in systems », dans Applied Mathematics and Computation, vol. 2, n^o 1, 1976, p. 63–94 [lien DOI] 

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