Quadrivecteur potentiel

Le quadrivecteur potentiel ou champ de jauge A^μ est défini par $(\frac{\phi}{c},\vec{A})$ où $\vec{A}$ est le potentiel vecteur, Φ le potentiel scalaire et c la vitesse de la lumière dans le vide.

Le potentiel vecteur étant défini par: $\vec{A}(\vec{r})= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_Vd^3r'\frac{\vec{j}(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$

Le potentiel scalaire étant défini par: $\phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int_V d^3r'\frac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$

Où $\vec{j}(\vec{r})$ la densité de courant et $\rho(\vec{r})$ la densité de charge dans le volume V.

Si on choisit la jauge de Lorentz, on aboutit aux équations suivantes: $\square A^\mu = -\mu_0j^\mu(x)$

La jauge de Lorentz peut être défini par $\partial_\mu A^\mu(x) = 0$

$\square$ est un scalaire, il est invariant par transformation de Lorentz. C'est-à-dire $\square' = \square$ Par cette définition, les équations de Maxwell sont invariantes par transformation de Lorentz.

N.B.: Tout quadruplet n'est pas un quadrivecteur au même titre qu'un triplet n'est pas forcément un vecteur. Le quadruplet doit satisfaire à la condition suivante pour être un quadrivecteur: $j'^\mu = \Lambda{}^\mu _\nu j^\nu$

Noter la convention de sommation d'Einstein: $\sum_{\mu=0}^{3}x^\mu y_\mu = x^\mu y _\mu$