Quadrature du cercle


Quadrature du cercle
L'approximation mentionnée dans le papyrus Rhind

La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube.

Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible).

La quadrature du cercle nécessite la construction à la règle et au compas de la racine carrée de π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π : sont constructibles seulement certains nombres algébriques[1].

Ce problème impossible a donné naissance à une expression : « Chercher la quadrature du cercle » qui signifie « Tenter de résoudre un problème insoluble ».

Sommaire

Histoire

Dans le papyrus Rhind (~1650 av. J.-C.), le scribe Ahmès proposait déjà une solution approchée du problème. Le premier scientifique grec à s'intéresser à la question a été Anaxagore de Clazomènes, suivi, entre autres, par Aristote[2].

Le problème remonte à l'invention de la géométrie et a occupé de nombreux mathématiciens au cours des siècles. Au XVIe siècle, Oronce Fine, Scaliger croient avoir démontré la quadrature ; Adrien Romain, le chevalier Errard de Bar le duc la leur refusent ; dans cette polémique, François Viète la décrète impossible. Au XVIIe siècle, Grégoire de Saint-Vincent était passionné par le problème : estimant — à tort — l'avoir résolu, il exposa ses solutions dans un ouvrage de 1 000 pages[3]. Le problème dépasse la sphère des mathématiques et l'on voit surgir des allusions à la quadrature dans des ouvrages ésotériques[4] .

C'est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d'exhiber la forme des équations dont sont solutions les nombres constructibles à la règle et au compas : les nombres constructibles sont les rationnels et les racines de certains polynômes de degré 2n à coefficients entiers (plus précisément les éléments d'une tour d'extension quadratique) ; les nombres constructibles sont des cas particuliers dans l’ensemble des nombres algébriques (qui sont les racines de polynômes de degré fini quelconque à coefficients entiers), ce qui n'est pas le cas de π, un nombre transcendant qui n'est la racine d'aucun polynôme de degré fini et à coefficients entiers. (Noter que les conditions précédentes portant sur des polynômes à coefficients entiers sont équivalentes à celles portant sur des polynômes à coefficients rationnels).

Puis en 1844, Joseph Liouville met en évidence l'existence des nombres transcendants. Mais il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu'elle est impossible à réaliser en un nombre fini de constructions à la règle et au compas (même en effectuant cette construction à l'aide de points intermédiaires dans un sur-espace contenant le plan du cercle).

L'Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat un siècle auparavant, n'acceptait plus de « preuve » de cette quadrature depuis 1775[5].

Ce problème reste aujourd'hui encore populaire et de nombreux « quadrateurs » amateurs continuent à envoyer leurs « démonstrations » — forcément erronées — aux académies scientifiques.

Notes et références

  1. Théorème de Wantzel
  2. Aristote, Les premiers Analytiques, II, 25, 69 a 32 ; Les seconds Analytiques, I, 9 76 a ; Réfutations sophistiques, 11, 171 b 16 et 172 a.
  3. Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum, J. et J. Meursios, Antverpiae, 1647.
  4. Par exemple chez Michael Maier, Atlanta Fugens, emblème XXI, « Du mâle et de la femelle, fais un cercle, puis, de là, un carré, et ensuite un triangle ; fais un cercle et tu auras la Pierre des Philosophe (...)comment se fait-il que la quadrature du cercle soit demeurée inconnue de Platon, au point qu’Aristote, disciple de Platon, ait déclaré qu’elle était connaissable mais non encore connue ? Cependant les Philosophes naturels ne l’ont pas ignorée, comme le montre leur commandement de convertir le cercle en carré et le carré à son tour en cercle par l’intermédiaire du triangle. Par ce cercle ils entendent le corps le plus simple, sans angles, et par le carré ils désignent les quatre éléments, comme s’ils disaient de prendre une figure corporelle susceptible d’être trouvée, de la diviser dans les quatre couleurs élémentaires pour obtenir un quadrilatère aux quatre côtés égaux. Tout le monde comprend que cette quadrature est physique et convient à la nature. » Lire en ligne
  5. D'après le site de l'académie de St Andrew, Squaring the circle

Bibliographie

  • Th. Heath, A History of Greek Mathematics, t. I, 1921.

Voir aussi

Articles connexes

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