Puits de potentiel

Puits de potentiel
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Puits.
Puits de potentiel unidimensionnel

Un puits de potentiel désigne, en physique, le voisinage d'un minimum local d'énergie potentielle.

Sommaire

Étude mathématique

Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point:

\dot{s}^2 + 2g h(s) = 2E/m = 2gH

qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz, liée à l'équation différentielle de Newton du second ordre :

\ddot{s} +2 g \frac{\mathrm dh}{\mathrm ds}= 0.

De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse v(s) = ± \sqrt{H-h(s)}

Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de h(s) = | s | y est étudié.

Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) :

\ddot{x} = F/m := g(x)

(On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz. On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle [a,b], a et b, racines contiguës de V(x)= E.

Cuvette symétrique

Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H.

Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette, symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques ; on peut ainsi tracer T(H).

Exemple : la cycloïde de Huygens (1659)

Huygens trouve quelle doit être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il faut une cuvette qui se relève plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R ; il trouve que la cycloïde convient. Alors T(H) = cste = T_o = 2\pi \sqrt {R/g}.

Taux d'harmoniques

L'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser :

v2(s) = 2g(Hh(s)): = (sa(H))2N2(s), et s=a(H).\cosϕ.

Ainsi :

 t= \int_0^{\phi}\frac{\mathrm du}{N[a(H)\cos(u)]}
 T(H)= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm du}{N[a(H)\cos(u)]} ,

la fonction N(s)(en Hertz) étant généralement bornée : N1 < N < N2, alors T2 < T(H) < T1.

  • Le cas du pendule cycloïdal, vu dans le paragraphe précédent, est le plus facile, car N(s)= cste = No , donc T(H)= cste= To.
  • Le cas du pendule simple, beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal (on dit générique) : si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur Hmax, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers Hmax. Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet "soliton" :

soit la décomposition en série de Fourier de s(t) : s(t)= \sum_n b_n \cos  \left[\frac{2\pi n t}{T(H)}\right],

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur \aleph_0(H), puis s'écroule exponentiellement (donc très vite), dès que n > \aleph_0(H) : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c’est-à-dire à la "régularité" de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).

  • Il faut préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours due à ce mécanisme de ralentissement T(H) ; on connaît des cas de cuvettes (non-symétriques) où T(H) = cste = To, mais où l'anharmonicité devient très grande. Dans ce cas, la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue. À titre d'exemple V(x) = x -\sqrt(x), étudié en physique des plasmas.
  • Enfin, il reste les cas où V(x) présente des singularités : le cas évident est celui d'une particule simplement bloquée entre deux murs réflecteurs : |x|<a

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à \sqrt{ 2E/m} et la période T(E) = 2 a\sqrt{2E/m}. L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction "triangle", donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

  • D'autres types de puits de potentiel plus complexes existent [on pensera à exp( − x2)x10(xa)2sin(a2 / (xa)2), où le nombre de racines de V'(x) augmente indéfiniment quand x tend vers a]

Ces problèmes à plusieurs "fenêtres de sortie" donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double, voire triple en radio-activité.

Quelques cas de cuvettes symétriques

  • La cuvette soliton U(x) = -\dfrac {g^2}{\cosh^2 (x)} : on trouve
    x(t) = \arg \operatorname{sh} \left[ - \dfrac{\sqrt{g^2+E}}{E} \sin (\omega t) \right]
    et la période T(E) = \pi \sqrt{- \dfrac{2}{E}}
  • la cuvette soliton modifiée U(x) = \dfrac {g^2}{\sin^2 (x)} : on trouve
    x(t) =\arg\cos \left(\sqrt{1- \dfrac{g^2}{E}} \cos (\omega t) \right)
    et la périodeT(E) = \pi \sqrt{\dfrac{2}{E}}
  • la cuvette de Jacobi U(x) = \dfrac {g^2}{\sinh (x,k)} : on trouve la période
    T = \dfrac{4}{\sqrt{2(E-g^2 k^2)}} K(k'')
    avec k'' =k^2 \dfrac{E-g^2}{E-g^2 k^2}, K(k) étant la fonction elliptique de première espèce.
  • la cuvette U(x) = g2cosh(2x) : on trouve la période d'oscillation
    T = \dfrac{4}{\sqrt(E+g^2)} K(k) , avec k^2 = \dfrac{E-g^2}{E+g^2}

Remarque : par symétrie de Corinne, à ces cuvettes correspondent des barrière de potentiel, dont on peut évaluer en mécanique quantique l'effet tunnel ; c'est une des raisons de trouver un maximum d'exemples pour pouvoir interpréter nombre d'expériences.

Détermination de h(s) grâce à l'observation de T(H)

Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz (mécanique, ed Mir) traitent ce problème difficile.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine {on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t))} : la formule est :

 s(h) =  \frac{1}{2\pi}\sqrt g \int_0^h \frac{T(H)\mathrm dH}{\sqrt{h-H}} ,

dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s = sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.

Quelques vérifications de cas connus

  • la cuvette de Torricelli (cf diagramme horaire) avec T = 4\cdot \sqrt{\dfrac{2H}{g\sin\alpha}} : s= \dfrac{h}{\sin\alpha}.
  • la cycloïde isochrone : s(h) telle que s2(h) = 16ah
  • et aussi toutes les cuvettes de potentiel en V(x) = xk, qui satisfont automatiquement au théorème du viriel, dont
    • le mouvement de Kepler : T^2 =a^3 = \dfrac{1}{(-E)^3} , qui donne bien U ~ \dfrac{-1}{|s|}.
    • si on rajoute la barrière centrifuge, la cuvette est non symétrique, mais le raisonnement (adapté) donne bien, quel que soit le moment cinétique, le résultat,U ~ \dfrac{-1}{r}.
  • la cuvette h = Ho \tan^2(\dfrac{s}{a}) qui donne : gT^2  = \dfrac{4\pi^2a^2}{(Ho+H)}.

Démonstration de la formule

La demi-primitive fractionnaire de la dérivée f'(x) est la demi-dérivée de f(x) (Théorème de réciprocité d'Abel) ;

mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde (des dérivées fractionnaires !)  ; voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :

  • remarquer que \int_a^b \frac{\mathrm dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)} }= \pi

(penser à HM2 = HA.HB, dans le triangle-rectangle AMB, inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB : alors \dfrac{\mathrm dx}{HM} = \mathrm d\phi ; d'où la réponse).

  • remarquer que T(H) s'écrit T(H) = \int_0^H  \frac{s'(z)\mathrm dz}{\sqrt{H-z}}, et donc
  •  \frac{T(H)}{\sqrt{h-H}}  = \int_0^H  \frac{s'(z)\mathrm dz}{\sqrt{(h-H)(H-z)}},

soit en intégrant sur la nouvelle variable H, de 0 à h, puis en intervertissant l'ordre d'intégration, d'abord en H, puis en z, l'obtention de la formule de réciprocité d'Abel.

On pourra s'exercer avec les résultats précédents.

Cuvettes non symétriques

Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, "à la Cavalieri", à un puits de potentiel symétrique.

Sont de ce type :

  • le potentiel (1-2)(dit de Newton radial) :  \dfrac{-g^2}{x} + \dfrac{h^2}{x^2}
  • le potentiel harmonique :  g^2x^2 + \dfrac{h^2}{x^2}
  • le potentiel de Lenard-Jones(6-12),
  • le potentiel interatomique dans une molécule diatomique, dit de Morse :
    U(x) = g2(2ex + e − 2x − 3)
  • le potentiel nucléaire :
    U(x) = \dfrac{g^2}{sh^2(x)} -\dfrac{h^2}{ch^2(x)}
  • Remarque : U(x) = − g2x4 amène la particule à l'infini en un temps fini ; c'est donc assez irréaliste d'avoir de telles forces répulsives.

Remarque : supersymétrie

Les potentiels précités ne sont pas trouvés au hasard ; ils résultent plus ou moins d'une sorte de factorisation, déjà remarquée par Schrödinger en 1940, et puis retrouvée par Ingold et bien d'autres, pour des besoins bien différents.

Évidemment, il se trouve que l'oscillateur harmonique radial et l'atome de Rutherford en font partie.

Formule de perturbation

Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler (champ magnétique : effet Zeeman classique ; champ électrique : effet Stark classique, etc.). Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

La règle est la suivante :

  • soit le mouvement non perturbé s(t,H), de période T(H). Dans le plan de phase, l'orbite fermée, d'énergie H est décrite dans le sens rétrograde avec la période T(H) en enserrant une aire I(H)(en joule.seconde), appelée l'Action I(H). Un résultat classique de mécanique hamiltonienne est T(H) = dI/dH.
  • Soit le nouveau potentiel V(x) + k .V1(x), où k est un réel sans dimension très petit.
  • soit k.I1(H) la petite action (en joule.seconde)= T(H).[moyenne temporelle de k V1(x)].
  • La variation de période T1(H) est :
T_1(H) = -k \cdot \frac{\mathrm dI_1}{\mathrm dH}.
  • si on veut le deuxième ordre, en k2, il faudra rajouter :
+ \dfrac{1}{2!} \cdot k^2 \cdot \frac{\mathrm d^2I_2(H)}{\mathrm dH^2} avec I2 (en joule2.seconde) = T(H).[moyenne temporelle de V12(x)] ; etc.

Application: la formule de Borda du pendule simple est retrouvée : En effet, les calculs montrent que T_1 =T_o \cdot (1+\frac{\theta_o^2}{16})

On trouve aussi les formules du ressort mou, ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Puits de potentiel de Wikipédia en français (auteurs)

См. также в других словарях:

  • Puits de potentiel — ● Puits de potentiel configuration d un champ de forces telle que le potentiel soit minimal dans une région et aille croissant en s éloignant de celle ci …   Encyclopédie Universelle

  • puits de potentiel — potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. potential hole; potential well vok. Potentialmulde, f; Potentialtopf, m rus. потенциальная яма, f pranc. cuvette de potentiel, f; puits de potentiel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Puits de potentiel semi-classique — Soit une particule de masse m , sur un axe x Ox, soumise à une force d énergie potentielle V(x), en « cuvette ». L équation classique du mouvement entre les deux points « tournants » x1(E) et x2(E) tels que V(x) = E a été… …   Wikipédia en Français

  • puits de potentiel rectangulaire — stačiakampė potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. square potential well vok. rechteckiger Potentialtopf, m; Rechteck Potentialtopf, m rus. прямоугольная потенциальная яма, f pranc. potentiel à puits rectangulaire, m;… …   Fizikos terminų žodynas

  • puits de potentiel quantique — kvantinė potencialo duobė statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. quantum well vok. Quantenmulde, f rus. квантовая потенциальная яма, f pranc. puits de potentiel quantique, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • puits de potentiel exponentiel — eksponentinė potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential potential well vok. Exponentialtopf, m; exponentieller Potentialtopf, m rus. экспоненциальная потенциальная яма, f pranc. puits de potentiel exponentiel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • puits de potentiel nucléaire — branduolio potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. nuclear potential well vok. Kernpotentialtopf, m rus. ядерная потенциальная яма, f pranc. puits de potentiel nucléaire, m …   Fizikos terminų žodynas

  • puits de potentiel tridimensionnel — trimatė potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. three dimensional potential well vok. dreidimensionaler Potentialtopf, m rus. трёхмерная потенциальная яма, f pranc. puits de potentiel tridimensionnel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • puits du potentiel tensoriel — tenzorinio potencialo duobė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tensor potential well vok. tensorischer Potentialtopf, m rus. тензорная потенциальная яма, f pranc. puits du potentiel tensoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • résonance de puits de potentiel — potencialo duobės rezonansas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. potential well resonance vok. Potentialkastenresonanz, f; Potentialtopfresonanz, f rus. резонанс потенциальной ямы, m pranc. résonance de puits de potentiel, f …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»