Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

En mathématiques, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, nommé après Leonard Ornstein (en) et George Uhlenbeck et aussi connu sous le nom de mean-reverting process, est un processus stochastique décrit par l'équation différentielle stochastique

$dr_t = -\theta (r_t-\mu)\,dt + \sigma\, dW_t,\,$

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et W_t est le processus de Wiener.

Trois exemples du processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu : Valeur initiale a=0 (p. s.)
Vert : Valeur initiale a=2 (p. s.)
Rouge : Valeur initiale distribuée normalement ainsi le procédé a une mesure invariante

Solution

Cette équation est résolue par la méthode de variation des constantes. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction f(r_t,t) = r_te^θt pour obtenir

$df(r_t,t) = \theta r_t e^{\theta t}\, dt + e^{\theta t}\, dr_t\,$

$= e^{\theta t}\theta \mu \, dt + \sigma e^{\theta t}\, dW_t. \,$

En intégrant de 0 à t, on obtient

$r_t e^{\theta t} = r_0 + \int_0^t e^{\theta s}\theta \mu \, ds + \int_0^t \sigma e^{\theta s}\, dW_s \,$

d'où nous voyons

$r_t = r_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \int_0^t \sigma e^{\theta (s-t)}\, dW_s. \,$

Ainsi, le premier moment est donné (en supposant que r₀ est une constante) par :

E(r_t) = r₀e ^{− θt} + μ(1 − e ^{− θt}).

$s \wedge t = \min(s,t)$ On peut utiliser l'isométrie d'Itō (en) pour calculer la covariance

$\operatorname{cov}(r_s,r_t)= E[(r_s - E[r_s])(r_t - E[r_t])]$

$= E[\int_0^s \sigma e^{\theta (u-s)}\, dW_u \int_0^t \sigma e^{\theta (v-t)}\, dW_v ]$

$= \sigma^2 e^{-\theta (s+t)}E[\int_0^s e^{\theta u}\, dW_u \int_0^t e^{\theta v}\, dW_v ]$

$= \frac{\sigma^2}{2\theta} \, e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s \wedge t)}-1).\,$

Il est aussi possible (et souvent commode) de représenter r_t (sans condition) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

$r_t=\mu+{\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}$

ou avec condition (r₀ donné) comme

$r_t=r_0 e^{-\theta t} +\mu (1-e^{-\theta t})+ {\sigma\over\sqrt{2\theta}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.$

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus gaussien à variance bornée) admet une distribution de probabilité stationnaire, contrairement au processus de Wiener.

L'intégrale temps de ce processus peut être utilisée pour générer un bruit avec un spectre de puissance 1/f.

Application

Le modèle de Vasicek (en) des taux d'intérêt est un exemple de processus d'Ornstein-Uhlenbeck.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ornstein–Uhlenbeck process » (voir la liste des auteurs)